|
|
Trước hết ta nhận thấy rằng : $ 1 \leq f(x) \leq 2 , \forall x \in [0;1]$
$ \Rightarrow \frac{1}{f(x)} \geq \frac{1}{2} , \forall x \in [0;1] \Rightarrow \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)} \geq \frac{1}{2} , \forall x \in [0;1] $
Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski:
$ 1 = \left ( \int\limits_{0}^{1} \sqrt{f(x)}. \frac{1}{\sqrt{f(x)} }dx \right )^2 \leq \int\limits_{0}^{1} f(x)dx . \int\limits_{0}^{1}\frac{dx}{f(x)} = \frac{3}{2} \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}$
$\Rightarrow \frac{2}{3} \leq \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)}$
Măt khác, ta có : $[f(x) - 1].[f(x)-2] \leq 0 , \forall x \in [0;1]$
$\Rightarrow [f(x)]^2 - 3f(x) + 2 \leq 0 , \forall x \in [0;1]$
$\Rightarrow f(x) + \frac{2}{f(x)} \leq 3, \forall x \in [0;1]$
Để ý rằng dấu $"="$ không thể xảy ra với mọi $ x \in [0;1]$. Quả vậy, nếu dấu $"="$ xảy ra với mọi $ x \in [0;1]$ thì $ f \equiv 1$ hoặc $f \equiv 2 $
Bởi vậy nếu có $ x_1, x_2 \in [0;1]$ sao cho $ f(x_1) =1 và f(x_2) = 2$ thì có $x_3 \in [0;1]$ để $ f(x_3) = \frac{3}{2},$ mâu thuẫn.
Do vậy chỉ có thể :
* Hoặc $ f(x) =1 , \forall x \in [0;1] \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}f(x)dx =1 $ ( mâu thuẫn)
* Hoặc $ f(x) =2 , \forall x \in [0;1] \Rightarrow \int\limits_{0}^{1}f(x)dx = 2 $ ( mâu thuẫn )
Thành thử , ta đi đến kết luận : $ f(x) = \frac{2}{f(x)} < 3 , \forall x \in [0;1]$
$\Rightarrow \int\limits_{0}^{1} f(x)dx + 2 \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)} < 3 \Rightarrow \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)} <\frac{3}{4}$
Tóm lại : $\frac{2}{3} \leq \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{f(x)} <\frac{3}{4} $
|