Bài 112056

Question

Cho ba số thực $x,y,z$ thỏa mãn các điều kiện: $0<x<y \leq z \leq 1$ và $3x+2y+z\leq 4 (1)$
Tìm $\max Q$, với $Q=3x^2+2y^2+z^2$

score 0 · Answer 1

Từ giả thiết $\begin{cases}0<x<y\leq z \leq 1 \\ 3x+2y+z \leq 4 \end{cases}$ Suy ra $\begin{cases}0<6x \leq 4 \\ 0<y\leq z \leq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x^2\leq x \leq \frac{2}{3} \\ y^2\leq y \leq 1 \\ z^2 \leq z \leq 1\end{cases} (2)$
Trường hợp 1:
$0<x \leq \frac{1}{3} \Rightarrow x^2 \leq \frac{1}{9} \Rightarrow 3x^2+2y^2+z^2 \leq \frac{1}{3}+2+1=\frac{10}{3} \Rightarrow Q \leq \frac{10}{3}$

Trường hợp 2: $\frac{1}{3}<x \leq \frac{2}{3} \Rightarrow (x-\frac{1}{3})(x-\frac{2}{3}) \leq 0 \Leftrightarrow x^2 \leq x-\frac{2}{9} (3)$
Từ $(1),(2),(3)$ suy ra $0< Q \leq 3(x-\frac{2}{9})+2y+z=3x+2y+z-\frac{2}{3}\leq 4-\frac{2}{3}=\frac{10}{3}$
$\Rightarrow 0<Q\leq \frac{10}{3}$
Trong cả hai trường hợp, dấu đẳng thức có khi $\left\{ {x=\frac{1}{3},y=z=1 } \right\}$ thỏa mãn $(1)$
Vậy $\max Q=\frac{10}{3} $ .

Bài 112056

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112056

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan