Bài 111846

Question

Cho $n ( n \neq 3)$ số thực dương $a_1,a_2,...,a_n$, Gọi $S=a_1+a_2+....+a_n$
Chứng minh $Q=\frac{a_1}{A-ka_1}+\frac{a_2}{bA-ka_2}+...+\frac{a_n}{A-ka_n} \geq \frac{n}{n-k}$
trong đó $k$ là một số thực thỏa mãn: $\frac{k}{n}< \min \left\{ {a_1,a_2,...,a_n} \right\} (1)$

score 0 · Answer 1

Với mọi $i(u=1,2,...,n)$ t có $\frac{a_i}{S-ka_i}+\frac{1}{k}=\frac{ka_i+S-ka_i}{k(S-ka_i)}=\frac{S}{k(S-ka_i)}$
$\Rightarrow Q+\frac{n}{k}=\frac{S}{k}(\frac{1}{S-ka_1}+\frac{1}{S-ka_2}+...+\frac{1}{S-ka_n})                 (2)$
Để ý: Từ $(1) \Rightarrow S-ka_i>0$
     Do vậy áp dụng bất đẳng thức Cô-si vào vế phải của $(2)$ ta có $Q+\frac{n}{k} \geq \frac{S.n}{k\sqrt[n]{(S-ka_1)(S-ka_2)...(S-ka_n)}}$$\geq \frac{S.n}{[(S-ka_1)+(S-ka_2)+...+(S-ka_n)]}$
                                                                              $\geq \frac{Sn^2}{k[nS-k(a_1+a_2+...+a_n)]}=\frac{Sn^2}{k(nS-kS)}=\frac{n^2}{k(n-k)}$
$\Rightarrow Q\geq \frac{n^2}{k(n-k)}-\frac{n}{k}=\frac{n}{n-k} \Leftrightarrow Q \geq \frac{n}{n-k}$ (đpcm)
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $S-ka_1=S-ka_2=...=S-ka_n \Leftrightarrow a_1=a_2=...=a_n$
( Với $n=3,k=1$ các bạn thấy lại bất đẳng thức Nestbit)

Bài 111846

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111846

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan