Bài 111834

Question

Cho họ mặt cong

$(S_{m}):x^{2}+y^{2}+z^{2}-2m^{2}x-4my+8m^{2}-4=0$

a) Tìm điều kiện của

$m$ để

$(S_{m})$ là một họ mặt cầu.

b) Chứng minh rằng tâm của họ

$(S_{m})$ luôn nằm trên một Parabol

$(P)$ cố định trong mặt phẳng

$Oxy$ , khi

$m$ thay đổi.

c) Trong mặt phẳng

$Oxy$ , gọi

$F$ là tiêu điểm của

$(P)$ . Giả sử đường thẳng

$(d)$ đi qua

$F$ tạo với chiều dương của trục

$Ox$ một góc

$\alpha$ và cắt

$(P)$ tại hai điểm

$M$ và

$N$

* Tìm tọa độ trung điểm

$E$ của đoạn

$MN$ theo

$\alpha$ .

* Từ đó suy ra quỹ tích điểm

$E$ khi

$\alpha$ thay đổi.

score 0 · Answer 1

a)

$m \neq \pm \sqrt{2}$

b)

$y^{2}=4x$

c) Trong mặt phẳng

$Oxy$ , xét Parabol:

$(P): y^{2}=4x$ , có tiêu điểm

$F(1;0)$ .

* Phương trình đường thẳng

$(d)$ đi qua

$F$ tạo với chiều dương của trục

$Ox$ một góc

$\alpha$ có dạng:

$(d): \begin{cases} qua F(1;0) \\ hệ số góc k= \tan \alpha \end{cases} \Leftrightarrow (d):y=(x-1)\tan \alpha$

* Tọa độ giao điểm

$M,N$ của

$(P)$ và

$(d)$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{cases} y^{2}=4x \\ y=(x-1)\tan \alpha \end{cases} \Rightarrow x^{2}\tan^{2} \alpha-2(\tan^{2} \alpha+2)x+\tan^{2} \alpha=0$ (1)

Ta có:

$\Delta'=(\tan^{2} \alpha+2)^{2}-\tan^{4} \alpha+4 >0, \forall \alpha$ do đó (1) luôn có

$2$ nghiệm phân biệt.

Vậy

$(P)$ và

$(d)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

$M(x_M;y_M), N(x_N;y_N)$ có hoành độ thỏa mãn:

$x_M+x_N=\frac{2(\tan^{2} \alpha+2)}{\tan^{2} \alpha}$

* Gọi

$E(x_E;y_E)$ là trung điểm của đoạn

$MN$ , ta có:

$\begin{cases} x_E=\frac{1}{2}(x_M+x_N) \\ y_E=(x_E-1)\tan \alpha \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x_E= \frac{\tan^{2} \alpha+2}{\tan^{2} \alpha} \\ y_E=\frac{2}{\tan \alpha}\end{cases} (I)$

Khử

$\alpha$ từ hệ (I) ta được:

$y^{2}_E=4x_E-2$

Vậy, quỹ tích trung điểm

$E$ của đoạn

$MN$ thuộc Parabol

$(P_1)$ có phương trình

$y^{2}=4x-2$ trong mặt phẳng

$Oxy$ .

Bài 111834

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111834

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan