a) ĐK
:$m^2-6m+25>0\Leftrightarrow(m-3)^2+16>0,\forall m\in R$
b) Ta có:
$R^{2}=(m-3)^{2}+16 \geq 16 \Rightarrow R_{min}=4$, đạt được khi $m=3$.
Vậy, trong họ $(S_{m})$ mặt cầu $(S_3)$ có bán kính nhỏ nhất $=4$.
c) Giả sử $M( x_{0};y_{0};z_{0} )$ là điểm cố định mà họ $(S_{m})$ luôn đi qua, ta có:
$(x_{0}-1)^{2}+(y_{0}-2)^{2}+(z_{0}-m)^{2}=m^{2}-6m+25$, với mọi $m$.
$\Leftrightarrow (6-2z_{0})m+(x_{0}-1)^{2}+(y_{0}-2)^{2}+z_0^2-25=0$, với mọi $m$.
$\Leftrightarrow \begin{cases} 6-2z_{0}=0 \\ (x_{0}-1)^{2}+(y_{0}-2)^{2}+z_0^2-25=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z_{0}=3 \\ (x_{0}-1)^{2}+(y_{0}-2)^{2}=16\end{cases} $
Vậy, họ $(S_{m})$ luôn chứa một đường tròn cố định có tâm $I_{0}(1;2;3)$ và bán kính $R_{0}=4$ nằm trong mặt phẳng $(P_{0}): z=3$.