Bài 111573

Question

$1$) Tìm GTNN và GTLN của biểu thức $Q=\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$ với $(a^2+b^2 > 0)$
$2$) cho a,b,c là các số thực dương có a+b+c=$3$.Tìm GTNN của biểu thức
Q=$\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}$

score 0 · Answer 1

$1$) Với $\forall k \in R$,ta có Q+k =$\frac{(1+k)a^2-(1-K)ab+(1+k)b^2}{a^2+ab+b^2}$
Gọi $\Delta =(1-k)^2-4(1+k)^2=-(k+3)(3k+1). \Delta =0 \Leftrightarrow {k=\frac{-1}{3};k=-3}$
+ Với k= $\frac{-1}{3}$ ta có $Q-\frac{-1}{3}=\frac{2(a-b)^2}{3(a^2+ab+b^2)} \geq 0 \Leftrightarrow Q \geq \frac{1}{3}$
với $\forall (a,b):a^2+b^2 >0$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b \neq 0$.Vậy MinQ=$\frac{1}{3}$.
+Với k=$-3$ ta có $Q-3=\frac{-2(a+b)^2}{(a^2+ab+b^2)} \leq 0 \Leftrightarrow Q \leq 3$ với $\forall (a,b):a^2+b^2>0$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=-b \neq 0$.Vậy MaxQ=$3$
$2$) Ta có $Q=\frac{a^4}{a(a^2+ab+b^2)}+ \frac{b^4}{b(b^2+bc+c^2)}+ \frac{c^4}{c(c^2+ca+a^2)}$
Theo Svacxơ : $Q \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{a(a^2+ab+b^2)+b(b^2+bc+c^2)+c(c^2+ca+a^2)}$
$=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2(a+b+c)+b^2(a+b+c)+c^2(a+b+c)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{3(a^2+b^2+c^2)}$
$=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}$
Theo bunhiacopski $Q \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{3} \geq \frac{(a+b+c)^2}{3.3}=\frac{3^2}{3^2}=1 \Rightarrow Q \geq 1$
Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi $a=b=c=1$.Vậy MinQ=$1$

Bài 111573

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111573

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan