Bài 111457

Question

Tính các tích phân sau :
a) $I = \int\limits \frac{xdx}{x^2+2+2\sqrt{x^2+1} } $
b) $J = \int\limits \frac{x^3dx}{(x+1)\sqrt{-x^2+2x+1} }.$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/11/2012 4:56:43 PM

a) Đặt $t = \sqrt{x^2 +1}    \Rightarrow   t^2 = x^2+1   \Rightarrow \begin{cases}tdt = xdx \\ x^2=t^2-1 \end{cases} $
Vậy : $I = \int\limits \frac{tdt}{t^2+1+2t} = \int\limits \frac{tdt}{(t+1)^2} = \int\limits \left ( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{(t+1)^2} \right )dt$
$I = \ln |1+t| + \frac{1}{1+t} + C = \ln (1+\sqrt{x^2+1}) + \frac{1}{1+ \sqrt{x^2 + 1} } + C.$

b) Ta có :
$ J = \int\limits \frac{x^3dx}{(x+1) \sqrt{-x^2 + 2x + 1} } = \int\limits \frac{x^2-x+1}{-x^2 +2x+1}dx - \int\limits \frac{dx}{(x+1)\sqrt{-x^2 + 2x + 1}} \equiv J_1 - J_2$
* Tính $J_1$:

Phân tích $J_1 = \int\limits \frac{x^2-x+1}{-x^2+2x+1}dx \equiv (ax+b)\sqrt{-x^2 +2x+1 + } + \lambda \int\limits
\frac{dx}{-x^2+2x+1}$
Đạo hàm hai vế đẳng thức này, ta được :
$ \frac{x^2-x+1}{\sqrt{-x^2+2x+1} }\equiv a\sqrt{-x^2+2x+1} + \frac{(ax+b)(1-x)}{-x^2+2x+1} +\frac{\lambda}{\sqrt{-x^2+2x+1} }$
$\Leftrightarrow \frac{x^2-x+1}{\sqrt{-x^2+2x+1} } \equiv \frac{-2ax^2 +(3a-b)x+a+b-\lambda }{\sqrt{-x^2+2x+1} }$
$\Leftrightarrow \begin{cases}-2a = 1 \\ 3a-b=-1 \\ a+b+\lambda = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=-\frac{1}{2} \\ b=-\frac{1}{2} \\ \lambda = 2 \end{cases}$
Do đó : $J_1 = -\frac{1}{2} (x+1)\sqrt{-x^2+2x+1} +2 \int\limits \frac{dx}{\sqrt{2- (x-1)^2} }$
$ = -\frac{1}{2} (x+1) \sqrt{-x^2 +2x +1} + 2\arcsin \frac{x-1}{\sqrt{2} } + C.$

Tính $J_2$ :
Đặt $t = \frac{1}{x+1}   \Rightarrow x= \frac{1}{t} -1   \Rightarrow   dx = -\frac{dt}{t^2} $

Lúc này : $J_2 = -\int\limits \frac{t.\frac{dt}{t^2} }{\sqrt{- \left ( \frac{1}{t}-1 \right )^2 + 2 \left ( \frac{1}{t} -1 \right ) +1 } } = -\int\limits \frac{\alpha.dt}{\sqrt{1-2(t-1)^2} } $
$\left ( với \alpha = \begin{cases}1 nếu      x>-1 \\ -1     nếu      x<-1 \end{cases} \right )$

$J_2 = -\frac{\alpha}{\sqrt{2} }\arcsin \sqrt{2}(t-1) + C = \frac{\alpha}{\sqrt{2}}\arcsin\frac{\sqrt{2x} }{x+1} +C.$
Vậy :$ J = -\frac{1}{2} (x+1)\sqrt{-x^2+2x+1} + 2\arcsin \frac{x-1}{\sqrt{2} - \frac{\alpha}{\sqrt{2} } }\arcsin \frac{\sqrt{2x} }{x+1} +C.$

Bài 111457

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111457

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan