Bài 111450

Question

Tìm các nguyên hàm sau :
a) $I = \int\limits \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1} }$
b) $J = \int\limits \frac{dx}{(x+\sqrt{x^2-1})^2}.$

score 0 · Answer 1

a) Đặt $t=\sqrt{x^2 -1 }          \Rightarrow     t^2 = x^2 -1   \Rightarrow   \begin{cases}tdt = xdx \\ x^2 = t^2 +1 \end{cases} $
Vậy : $I \int\limits \frac{xdx}{x^2\sqrt{x^2-1} } = \int\limits \frac{tdt }{(t^2+1)t} = \arctan t + C = \arctan \sqrt{x^2-1} +C.$

b) Ta có:   $J = \int\limits \frac{dx}{(x+\sqrt{(x^2-1})^2 } = \int\limits \frac{(x-\sqrt{x^2-1})^2dx }{((x+\sqrt{x^2-1})^2 (x-\sqrt{x^2-1})^2 }$
$ = \int\limits (2x^2 - 1 -2x \sqrt{x^2-1})dx = \frac{2x^3}{3} -x-2 \int\limits x\sqrt{x^2-1dx}$
Đặt $t = \sqrt{x^2-1} \Rightarrow t^2 = x^2 -1 \Rightarrow tdt = xdx$
$\Rightarrow \int\limits x\sqrt{x^2 - 1dx} = \int\limits t^2dt = \frac{t^3}{3} + C = \frac{1}{3} \sqrt{(x^2-1)^3}+ C$
Vậy : $J= \frac{2}{3} x^3 -x - \frac{2}{3} \sqrt{(x^2-1)^3} +C$

Bài 111450

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111450

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan