Bài 111441

Question

Tính tích phân : $P = \int\limits \frac{x^3+2x^2+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2} }dx.$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/11/2012 4:59:47 PM

Viết $P$ dưới dạng :    $P = (ax^2+bx+c)\sqrt{x^2 + 2x + 2} + d \int\limits \frac{dx}{x^2+2x+2} +C$
Lấy đạo hàm 2 vế ta được :
$\frac{x^3+2x+3x+4}{\sqrt{x^2+2x+2} }\equiv (2ax+b)\sqrt{x^2+2x+2} + \frac{(ax^2+bx+c)(x+1)}{\sqrt{x^2+2x+2} }+ \frac{d}{\sqrt{x^2+2x+2} }    $
$\Leftrightarrow x^3+2x^2+3x+4 \equiv (2ax +b)(x^2+2x+2)+(ax^2+bx+c)(x+1)+d$
$\Leftrightarrow x^3+2x^2+3x+4 \equiv 3ax^3 + (5a+2b)x^2+(4a+3b+c)x+(2b+c+d)$
Đồng nhất hệ số 2 vế ta được:
$\begin{cases}3a=1 \\ 5a+2b=2 \\ 4a+3b+c=3 \\ 2b+c+d=4\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=\frac{1}{3} \\ b=\frac{1}{6} \\ c=\frac{7}{6} \\ d=\frac{5}{2} \end{cases} $
Vậy : $P = \frac{1}{6}(2x^2 +x+7)\sqrt{x^2+2x+2} +\frac{5}{2} \ln (x+1+\sqrt{x^2+2x+2})+C$
( vì $\int\limits \frac{dx}{\sqrt{x^2+2x+2} }= \int\limits \frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2+1}}= \ln [x+1+\sqrt{(x+1)^2+1}] + C).$

Bài 111441

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111441

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan