Bài 111440

Question

Cho

$\Delta ABC$ nội tiếp trong đường tròn tâm

$(O), B$ và

$C$ cố định,

$A$ di động. Gọi

$H$ là trực tâm,

$AD$ là đường kính.
a) Chứng minh

$BHCD$ là hình bình hành.
b) Chứng minh

$3$ đường tròn ngoại tiếp

$3$ tam giác

$BHC, CHA$ và

$AHB$ bằng đường tròn

$(O)$ .

score 0 · Answer 1

a) Ta có:

$\widehat{ABD}=90^\circ$
Do đó:

$BD \bot AB, CH \bot AB (CH$ là đường cao)
Suy ra:

$BD\parallel CH ($ cùng

$\bot AB) (1)$

$BH\parallel CD ($ cùng

$\bot AC) (2)$
Từ

$(1), (2) \Rightarrow BHCD$ là hình bình hành.

b) Hai đường chéo

$HD$ và

$BC$ của hình bình hành

$BHCD$ cắt nhau tại trung điểm

$M$ .
Ta có

$OM$ là đường trung bình của

$\Delta ADH$
Do đó:

$\overrightarrow{AH}=2 \overrightarrow{OM}$ . Suy ra:

$T_{2\overrightarrow{OM} }: A \rightarrow H$
nên khi

$A$ chạy trên đường tròn

$(O)$ thì

$H$ chạy trên đường tròn ngoại tiếp

$\Delta BHC$ (ảnh của

$(O)$ ) trong phép tịnh tiến

$T_{2\overrightarrow{OM} }$ .
Vậy đường tròn

$(BHC)$ bằng đường tròn

$(O)$ .
Chứng minh tương tự, ta có

$2$ đường tròn

$(CHA)$ và

$(AHB)$ bằng đường tròn

$O$ .

1 Đáp án