Bài 111230

Question

Cho $4$ điểm phân biệt $A, B, C, D$ cố định và theo thứ tự đó cũng ở trên một đường thẳng. Hai đường tròn di động qua $A, B$ và $C, D$ cắt nhau tại $M, N$.
a) Chứng minh $MN$ đi qua một điểm cố định $K$.
b) Chứng minh các tiếp điểm của tiếp tuyến với hai đường tròn trên vẽ từ $K$, thì thuộc một đường tròn cố định.

score 0 · Answer 1

a) Gọi $K$ là giao điểm của $M, N$ và đường thẳng chứa $A, B, C, D$.
Ta có: $\overline{KM}.\overline{KN}=\overline{KA}.\overline{KB}    $
            $\overline{KM}.\overline{KN}=\overline{KC}.\overline{KD}    $
$\Rightarrow \overline{KA}.\overline{KB}=\overline{KC}.\overline{KD}                 (1)$
$(1)$ chứng tỏ $K$ cố định.
Vậy $MN$ đi qua điểm cố định $K$.

b) Gọi $T_1, T_2, T_3, T_4$ là các tiếp điểm của tiếp tuyến vẽ từ $K$ tới hai đường tròn đó.
Suy ra: $\overline{KT_1}^2 =\overline{KT_2}^2=\overline{KT_3}^2=\overline{KT_4}^2   $
$=\overline{KM}.\overline{KN}=\overline{KA}.\overline{KB}=    $hằng số.
Vậy bốn tiếp điểm $T_1, T_2, T_3,T_4$ nằm trên đường tròn cố định tâm $K$ bán kính $R=\sqrt{\overline{KA}.\overline{KB} } $.

Trong phần a) có thể lý giải cụ thể hơn tại sao khi $    \overline{KA}.\overline{KB}=\overline{KC}.\overline{KD}       $ thì $K$ là điểm cố định.
Bằng cách coi đường thẳng chứa $4$ điểm $A, B, C, D$ là một trục số và gắn cho các điểm này tọa độ tương ứng là $ A(a); B(b); C(c); D(d) $. Và đặt $K(x)$.
Ta có :
$\overline{KA}.\overline{KB}=\overline{KC}.\overline{KD}$
$\Rightarrow(a-x)(b-x)=(c-x)(d-x) $
$\Rightarrow ab-(a+b)x=cd-(c+d)x    $
$\Rightarrow (a+b-c-d)x=ab-cd$
Trong trường hợp tổng quát thì $a+b-c-d \ne 0$ vì thế
$x = \frac{ab-cd}{a+b-c-d}$
Đẳng thức này chứng tỏ rằng $K$ là điểm cố định.

Bài 111230

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111230

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan