Bài 111175

Question

Cho đường tròn tâm $O$, đường kính $AB=2R$. Trên tia đối của tia $AB$, lấy đoạn $AM=\frac{R}{2} $. Dựng tiếp tuyến $ME$ với $(O)$ và kẻ $EK \bot MO$.

a) Chứng minh rằng $\overline{MK}.\overline{MO}=\overline{MA}.\overline{MB} $
b) Dựng cát tuyến $MCD$ với $(O)$. Chứng tỏ tứ giác $OKCD$ nội tiếp được.
c) Gọi $F$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Chứng minh rằng: $\overline{AF}.\overline{AD}+\overline{BF}.\overline{BC}=4R^2 $

score 0 · Answer 1

a) $\Delta OEM$ vuông tại $E$, đường cao $EK$
$\Rightarrow    ME^2=\overline{MK}.\overline{MO} $
Mặt khác ta có:
$P_{M/(O)}=\overline{ME}^2=\overline{MA} .\overline{MB} $
Do đó:   $\overline{MK}.\overline{MO}=\overline{MA}.\overline{MB}           (1)$

b) Ta lại có:   $\overline{MC}.\overline{MD}=\overline{MA}.\overline{MB}              (2)$
Từ $ (1), (2) \Rightarrow      \overline{MK}.\overline{MO}=\overline{MC}.\overline{MD} $
Hệ thức này chứng tỏ $4$ điểm $K, O, C, D$ cùng nằm trên một đường tròn. Hay tứ giác $OKCD$ nội tiếp được.

c) Dựng $FH \bot AB$. Nối $AC$ và $BD$.
Tứ giác $HFDB$ nội tiếp $\Leftrightarrow     \overline{AF} .\overline{AD} = \overline{AH} .\overline{AB} $
Tứ giác $HFCA$ nội tiếp $\Leftrightarrow     \overline{BF} .\overline{BC} =\overline{BH} .\overline{BA} $
Do đó ta có:
$\overline{AF} .\overline{AD}+\overline{BF} .\overline{BC}=\overline{AH}.\overline{AB} +\overline{BH}.\overline{BA}=\overline{AH}.\overline{AB}+\overline{HB}.\overline{AB} $
$=\overline{AB} .(\overline{AH}+\overline{HB} )=AB^2=4R^2$.
Vậy    $\overline{AF}.\overline{AD}+\overline{BF}.\overline{BC}=4R^2    $.

Bài 111175

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111175

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan