Bài 111167

Question

Cho $\Delta ABC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ tâm $O$ và $M$ là trung điểm của $BC$. Đường tròn ngoại tiếp $\Delta AMO$ cắt $BC$ tại $F$.
a) Chứng minh rằng $\overline{FB}.\overline{FC}=\overline{FE}.\overline{FM}$.
b) Chứng minh rằng $\overline{EB}.\overline{EC}=\overline{EF}.\overline{EM}$.
c) Chứng minh rằng $EA$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp $\Delta AMF$.

score 0 · Answer 1

a) Ta có: $P_{E/(O)}=\overline{FB}.\overline{FC}=\overline{FA}.\overline{FD}              (1)$
$P_{F/(AOM)}=\overline{FM}.\overline{FE}=\overline{FA}.\overline{FD}                (2)$
Từ $(1), (2)     \Rightarrow     \overline{FB}.\overline{FC}=\overline{FM}.\overline{FE}            (3)$
b) Từ $(3)$ suy ra:   $(\overline{EB}-\overline{EF})(\overline{EC}-\overline{EF})=-\overline{EF}(\overline{EM}-\overline{EF})$
$\Leftrightarrow    \overline{EB}.\overline{EC}-\overline{EF}(\overline{EB}+\overline{EC})=-\overline{EF}.\overline{EM}$
Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có: $\overline{EB}+\overline{EC}=2 \overline{EM}$
Vậy $\overline{EB}.\overline{EC}=\overline{EF}.\overline{EM}$
c) Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên   $OM \bot BC$
Tứ giác $EMOA$ và có $\widehat{EMO}=90^0. $
Nên $\widehat{EAO}=90^0 $. Suy ra $EA$ tiếp xúc với $(O)$ tại $A$. Suy ra:
          $\overline{EA}^2=\overline{EB}.\overline{EC}$
$\Leftrightarrow    \overline{EA}^2=\overline{EF}.\overline{EM}$
Vậy $EA$ tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác $AMF$.

Bài 111167

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111167

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan