Bài 110958

Question

Cho Parabol $(P)$ và Elip $(E)$ có phương trình: $(P):y=x^2-2x$ và $(E):\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{1}=1 $
a. Chứng minh rằng $(P)$ cắt $(E)$ tại bốn điểm phân biệt $A, B, C, D$
b. Lập phương trình đường tròn đi qua các giao điểm đó.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/6/2012 5:22:47 PM

a. Xét hệ phương trình tạo bởi $(P)$ và $(E)$
$\begin{cases}x^2+9y^2=9 \\ y=x^2-2x \end{cases}        (I)$
$\Rightarrow x^2+9(x^2-2x)^2=9$
$\Leftrightarrow f(x)=9x^2-36x^3+37x^2-9=0    (1)$
Ta có:
$f(-1)=73>0, f(0)=-9<0$
$f(1)=1<0, f(2)=-77<0 , f(3)=81>0$
Do đó:
$* f(-1).f(0)<0\Rightarrow $ phương trình $(1)$ có một nghiệm thuộc $(-1;0)$
$* f(0).f(1)<0\Rightarrow $ phương trình $(1)$ có một nghiệm thuộc $(0;1)$
$* f(1).f(2)<0\Rightarrow $ phương trình $(1)$ có một nghiệm thuộc $(1;2)$
$* f(2).f(3)<0\Rightarrow $ phương trình $(1)$ có một nghiệm thuộc $(2;3)$
Vậy phương $(1)$ có $4$ nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow (d)\cap (P)=\left\{ {A, B, C, D} \right\}$
b. Từ $(I)$ ta được: $\begin{cases}x^2+9y^2=9 \\ 8(x^2-2x)=8y \end{cases} \Rightarrow 9x^2+9y^2-16x-8y-9=0$
$\Leftrightarrow (x-\frac{8}{9} )^2+(y-\frac{4}{9} )^2=\frac{161}{81}          (*)$
Nhận xét rằng tọa độ của $A, B, C, D$ cùng thỏa mãn $(*)$
Vậy, phương trình đường tròn đi qua $A, B, C, D$ có dạng: $(C):(x-\frac{8}{9} )^2+(y-\frac{4}{9} )^2=\frac{161}{81} $

Bài 110958

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110958

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan