Bài 110652

Question

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai đường thẳng :
$d_1:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{1} ; d_2:\begin{cases}x=-1+2t \\ y=1+t \\ z=3 \end{cases}$
Viết phương trình đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P): 7x+y-4z=0$ và cắt cả $d_1,d_2$

score 0 · Answer 1

Ta thấy $d_1$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;-1;1)$ và qua điểm $M(0;1;-2)$.
Và $d_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(2;1;0)$ và qua điểm $N(-1;1;3)$.
Do $d$ vuông góc với $(P)$ và cắt $d_1$, nên $d$ nằm trong mặt phẳng $(Q)$, là mặt phẳng nhận cặp vectơ $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{n}$ làm cặp vectơ chỉ phương và qua $N$, ở đây $\overrightarrow{n}=(7;1;-4)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$.
Ta có: $(Q)$ và $(R)$ lần lượt nhận $\overrightarrow{n_Q},\overrightarrow{n_R}$ là vectơ pháp tuyến xác định như sau:
$\overrightarrow{n_Q}=[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{n}]=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-1}}&{{1}}\\
{{1}}&{{-4}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{1}}&{{2}}\\
{{-4}}&{{7}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2}}&{{-1}}\\
{{7}}&{{1}}
\end{array}} \right|)=(3;15;9)$,
$\overrightarrow{n_R}=[\overrightarrow{u_2},\overrightarrow{n}]=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{1}}&{{0}}\\
{{1}}&{{-4}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{0}}&{{2}}\\
{{-4}}&{{7}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2}}&{{1}}\\
{{7}}&{{1}}
\end{array}} \right|)=(-4;8;-5)$.
Do $(Q)$ đi qua $M(0;1;-2)$ nên $(Q)$ có dạng:
$(Q): 3x+15(y-1)+9(z+2)=0\Leftrightarrow x+5y+3z+1=0$
Do $(R)$ đi qua $N(-1;1;3)$ nên $(R)$ có dạng:
$(R): -4(x+1)+8(y-1)-5(z-3)=0\Leftrightarrow 4x-8y+5z-3=0$

Vậy đường thẳng $d$ cần tìm được cho dưới dạng tổng quát:
$d:\begin{cases}x+5y+3z+1=0 \\ 4x-8y+5z-3=0 \end{cases}$.

Bài 110652

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110652

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan