Bài 110555

Question

Cho tứ diện $ABCD$ có đáy $DBC$ là tam giác đều, cạnh $a$ và $AD=a;AD\bot BC$.Khoảng cách từ đỉnh $A$ đến cạnh $BC$ là $a.$Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC$
$a.$ Chứng minh $BC\bot (ADM)$
$b.$ Tính chiều cao $AH$ của tứ diện
$c.$ Dựng vào tính đoạn vuông góc chung của $SA,BC$

score 0 · Answer 1

$a.$ Theo giả thiết, $\Delta DBC$ đều $M$ là trung điểm của $BC$ ta có :
$DM\bot BC (1)$
Ta lại có : $AD\bot BC (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $BC\bot (ADM)$
$b.$ Ta có :
$BC\bot (ADM)$ mà $BC\subset (DBC)$
nên $(DBC)\bot (ADM)$
Kẻ $AH\bot (BDC)$ thì vì $(BDC)\bot (ADM)$ nên $AH$ phải nằm trong mặt phẳng $(ADM)$ suy ra điểm $H$ nằm trên $DM$
Vì $BC\bot (ADM)$ nên $AM\bot BC\Rightarrow AM$ là khoảng cách từ đỉnh $A$ đến cạnh $BC$ hay $AM=a$.Từ đây ta có : $AM=AD\Rightarrow \Delta ADM$ cân tại đỉnh $A$ mà $AH$ là đường cao nên $H$ là trung điểm của $DM.$ Ta có :
$DM=\frac{a\sqrt{3} }{2} ;DH=\frac{1}{2} DM=\frac{a\sqrt{3} }{4} $
$AH^2=AD^2-DH^2=a^2-(\frac{a\sqrt{3} }{4} )^2=\frac{13a^2}{4} $
$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{13} }{2} $
$c.$ Trong tam giác $ADM$ kẻ $MN\bot AD$ ta có :
$BC\bot (ADM)$ mà $MN\subset (ADM)$ nên $MN\bot BC$
Vậy $MN$ là đoạn vuông góc chung của $AD,BC$
Ta lại có $2s_{ADM}=AH.DM=AD.MN$
Cho ta $MN=\frac{AH.DM}{AD} $
Với $AH=\frac{a\sqrt{13} }{2} ;DM=\frac{a\sqrt{13} }{2} $ và $AD=a$
Ta tính ra $MN=\frac{a\sqrt{39} }{8} $

Bài 110555

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110555

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan