Bài 110536

Question

Cho điểm $A(4;0;0)$ và mặt cầu $(\gamma)$ có phương trình: $x^2+y^2+z^2-4x-4y-4z=0$ trong không gian tọa độ $Oxyz$. Viết phương trình mặt phẳng $(OAB)$, biết rằng điểm $B$ thuộc mặt cầu $(\gamma)$ và $OAB$ là tam giác đều.

score 0 · Answer 1

Viết lại $(\gamma )$ dưới dạng: $(x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=(2\sqrt{3})^2$
Vậy $(\gamma)$ có tâm $I=(2;2;2)$ và bán kính $R=2\sqrt{3}$.
Giả sử $(P)$ là mặt phẳng $(OAB)$.
Để ý rằng ngoài $B\in (\gamma)$ theo giả thiết thì $O, A$ cũng thuộc $(\gamma)$.
Mặt phẳng $(P)$ cắt $(\gamma) $ theo giao tuyến là đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $OAB$. Tâm $H$ của đường tròn này chính là hình chiếu của $I$ trên $(P)$.

Đặt $r=OH$, khi đó trong tam giác đều $ OAB$, ta có:
$\frac{3}{2}r=\frac{OA\sqrt{3}}{2}\Rightarrow r=\frac{OA}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$
Ta có: $IH=d(I,(P)) =\sqrt{R^2-r^2}=\sqrt{12-\frac{16}{3}}=\frac{2\sqrt{15}}{3}$.
Giả sử $H(x,y,z)$
$\begin{cases}OH^2=r^2 \\ OA^2=r^2 \\ IH^2=d(I,(P))^2\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x^2+y^2+z^2= \frac{16}{3}\\ (x-4)^2+y^2+z^2=\frac{16}{3}\\ (x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=\frac{20}{3} \end{cases} $
Giải hệ trên có 2 điểm thỏa mãn: $H_1(2;\frac{1+\sqrt{5}}{3}, \frac{1-\sqrt{5}}{3})$ và $H_2 (2;\frac{1-\sqrt{5}}{3}, \frac{1+\sqrt{5}}{3}) $
Như vậy có 2 MP thỏa mãn đề:
$(P_1): (4-4\sqrt{5})y-(4+4\sqrt{5})z=0$
$(P_2): (4+4\sqrt{5})y-(4-4\sqrt{5})z=0$

Bài 110536

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110536

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan