Bài 110435

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi, $AC$ cắt $BD$ tại gốc tọa độ $O$. Biết $A(2;0;0), B(0;1;0); S(0;0;2\sqrt{2})$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $SC$. Tính thể tích hình chóp $S.ABMN$, ở đây $N$ là giao điểm của $SD$ với mặt phẳng $(ABM)$.

score 0 · Answer 1

Do $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ nên ta có:
Do $AB//CD\Rightarrow AB //(SDC) ; (MAB) \cap (SDC)=MN$

Ở đây $MN//AB$. Vì $M$ là trung điểm của $SC$, nên $N$ là trung điểm của $SD$.
Ta có: $C=(-2;0;0); D=(0;-1;0)$
Từ đó: $M=(-1;0;\sqrt{2}); N=(0;-\frac{1}{2};\sqrt{2})$
Ta có: $\overrightarrow{SA}=(2;0;-2\sqrt{2}); \overrightarrow{SN}=(0;-\frac{1}{2};-\sqrt{2});\overrightarrow{SM}=(-1;0;-\sqrt{2});\overrightarrow{SB}=(0;1;-2\sqrt{2})$
$V_{S.ABMN}=V_{S.ABN}+V_{S.NBM}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SN}].\overrightarrow{SA}|+\frac{1}{6}|[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SN}].\overrightarrow{SM}| (1)$
Ta có: $[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SN}]=(\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{1}}&{{-2\sqrt{2}}}\\
{{-\frac{1}{2}}}&{{-\sqrt{2}}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{-2\sqrt{2}}}&{{0}}\\
{{-\sqrt{2}}}&{{0}}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{{0}}&{{1}}\\
{{0}}&{{-\frac{1}{2}}}
\end{array}} \right|)=(-2\sqrt{2};0;0)$
$\Rightarrow [\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SN}].\overrightarrow{SA}=-4\sqrt{2}; [\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SN}].\overrightarrow{SM}=2\sqrt{2} (2)$
Thay $(2)$ vào $(1)$ ta có: $V_{S.ABMN}=\frac{1}{6}(4\sqrt{2}+2\sqrt{2})=\sqrt{2}$.

Bài 110435

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110435

1 Đáp án

Liên quan

Tính gián tiếp thể tích khối chóp bằng công thức tỉ số thể tích

Lý thuyết liên quan