Bài 110404

Question

Cho tứ diện $ABCD$ một điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ và một điểm $N$ thuộc cạnh $CD.$Gọi $P,Q,R,S$ theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng $DM,CM,AN,BN$Chứng minh bốn điểm $P,Q,R,S$ đồng phẳng

score 0 · Answer 1

Ta có trong tam giác $ABN$ thì $RS$ là đường trung bình :
$\overrightarrow {RS}=\frac{1}{2} \overrightarrow {AB}     (1)$
Trong tam giác $CDM$ thì $PQ$ là đường trung bình :
$\overrightarrow {PQ}=\frac{1}{2} \overrightarrow {CD}     (2) $
vì $R$ là trung điểm của $AN$ nên
$2\overrightarrow {PR}=\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {N}   $
$\Rightarrow 2\overrightarrow {PR}=\overrightarrow {PM}+\overrightarrow {MA}   +\overrightarrow {PD}+\overrightarrow {DN} $
$\Rightarrow 2\overrightarrow {PR}=\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {DN}+(\overrightarrow {PM}+\overrightarrow {PD} )   $
Vì $P$ là trung điểm của $MD$ nên $\overrightarrow {PM}+\overrightarrow {PD}=\overrightarrow {0}   $
Cuối cùng ta có $\overrightarrow {PR}=\frac{1}{2} \overrightarrow {MA}+\frac{1}{2} \overrightarrow {DN} $
Đẳng thức này chứng tỏ $\overrightarrow {PR} $ và $\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {DN} $ đồng phẳng hay $\overrightarrow {PR},\overrightarrow {AB},\overrightarrow {CD}   $ đồng phẳng      $(3)$
Tương tự ta có : $\overrightarrow {SQ}=\frac{1}{2} \overrightarrow {NC}+\frac{1}{2} \overrightarrow {BM} $
Và từ đẳng thức này ta cũng suy ra $\overrightarrow {SQ},\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} $ đồng phẳng $(4)$.Từ $(1),(2),(3),(4)$ suy ra bốn véctơ $\overrightarrow {PQ},\overrightarrow {PR},\overrightarrow {RS},\overrightarrow {SQ}    $ đồng phẳng.Vậy bốn điểm $P,Q,R,S$ nằm trong một mặt phẳng

Bài 110404

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110404

1 Đáp án

Liên quan

VECTO TRONG KHÔNG GIAN, SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTO

Lý thuyết liên quan