Bài 110281

Question

Tính nguyên hàm của: $f(x)=\frac{1}{\sin 2x-2\sin x} $

score 0 · Answer 1

Phân tích:$\sin 2x-2\sin x=2\sin x(\cos x-1)$
$=2\sin^2 x(\cos x-1)\frac{1}{\sin x}=\frac{2(1-\cos^2 x)(\cos x-1) }{\sin x}     $
Do đó:
$I=\frac{1}{2}\int\limits \frac{\sin xdx}{(1- \cos^2 x)(\cos x-1)}=\frac{1}{2}\int\limits \frac{d(\cos x)}{(\cos x-1)^2(\cos x+1)}    $
Xét hàm dưới dấu tích phân:
$\frac{1}{(\cos x-1)^2(\cos +1)}\equiv \frac{a}{\cos x-1 } +\frac{b}{(\cos x-1)^2} +\frac{c}{\cos x+1} $
$\frac{1}{(\cos x -1)^2(\cos x+1)}\equiv \frac{a(\cos^2 x-1)+b(\cos x+1)+c(\cos x -1)^2}{(\cos x -1)^2(\cos x+1)} $
$\Rightarrow 1\equiv (a+c)\cos^2 x+(b-2c)\cos x+(b+c-a) $ (*)
Đồng nhất 2 vế của (*) $ \left\{ \begin{array}{l} a+c=0 \\ b-2c=0 \\ b+c-a=1 \end{array} \right. \Rightarrow a=-\frac{1}{4};b=\frac{1}{2} ;c=\frac{1}{4} $

Khi đó :$I=\frac{1}{2}\int\limits [\frac{-1}{4(\cos x-1)}+\frac{1}{2(\cos x-1)^2}+\frac{1}{4(\cos x+1) } ]d(\cos x) $
$I=-\frac{1}{8}\ln|\cos x-1|-\frac{1}{4(\cos x-1)}+\frac{1}{8}\ln|\cos x+1|+ C   $
$I=\frac{1}{8}\ln|\frac{1+\cos x}{1-\cos x}|+\frac{1}{8\sin^2 \frac{x}{2} }+C $
$I=\frac{1}{8}\ln\cot^2 \frac{x}{2}+\frac{1}{8\sin^2 \frac{x}{2} }+C $

Bài 110281

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110281

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan