Bài 110093

Question

Cho phương trình $(x-3)(x+1)+4(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=m (1)$
a) Giải phương trình khi $m=-3$
b) Với giá trị nào của $m$ thì phương trình có nghiệm?

score 0 · Answer 1

Điều kiện: $\frac{x+1}{x-3} \geq 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \leq -1}\\
{x>3}
\end{array}} \right. (2)$. Đặt $t=(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}     (3)$
Suy ra:
$\begin{cases}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \leq -1 \Leftrightarrow t \leq 0}\\
{x>3 \Leftrightarrow t>0}
\end{array}} \right. \\ t^2=(x-3)(x+1) \Leftrightarrow x^2-2x-3-t^2=0 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x=1+\sqrt{4+t^2}, t>0    (4.1)}\\
{x=1-\sqrt{4+t^2}, t\leq 0   (4.2)}
\end{array}} \right.$
Phương trình $(1)$ trở thành: $t^2+4t-m=0                      (5)$
a) Với $m=-3$ sẽ có $(5) \Leftrightarrow t^2+4t+3=0 \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t=-1<0}\\
{t=-3<0}
\end{array}} \right.$
Thay vào $(4.2): \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{+ Với t=-1 có x=1-\sqrt{5}                 (6)}\\
{+ với t=-3 có x=1-\sqrt{13}                (7)}
\end{array}} \right.$
Từ $(6),(7)$ suy ra tập hợp nghiệm của phương trình khi $m=-3$ là
       $\left\{ {x=1-\sqrt{5}; x=1-\sqrt{13}} \right\}$
b) Thấy rằng với mọi $t$, phương trình $(1)$ luôn có nghiệm hoặc $(4.1)$ hoặc $(4.2)$
Bởi vậy phương trình $(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình $(5)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta'_t \geq 0 \Leftrightarrow 4+m \geq 0 \Leftrightarrow m \geq -4$

Bài 110093

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110093

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan