Bài 110093

Question

Cho phương trình

$(x-3)(x+1)+4(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}}=m (1)$
a) Giải phương trình khi

$m=-3$
b) Với giá trị nào của

$m$ thì phương trình có nghiệm?

score 0 · Answer 1

Điều kiện:

$\frac{x+1}{x-3} \geq 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leq -1}\\ {x>3} \end{array}} \right. (2)$ . Đặt

$t=(x-3)\sqrt{\frac{x+1}{x-3}} (3)$
Suy ra:

$\begin{cases}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x \leq -1 \Leftrightarrow t \leq 0}\\ {x>3 \Leftrightarrow t>0} \end{array}} \right. \\ t^2=(x-3)(x+1) \Leftrightarrow x^2-2x-3-t^2=0 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=1+\sqrt{4+t^2}, t>0 (4.1)}\\ {x=1-\sqrt{4+t^2}, t\leq 0 (4.2)} \end{array}} \right.$
Phương trình

$(1)$ trở thành:

$t^2+4t-m=0 (5)$
a) Với

$m=-3$ sẽ có

$(5) \Leftrightarrow t^2+4t+3=0 \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {t=-1<0}\\ {t=-3<0} \end{array}} \right.$
Thay vào

$(4.2): \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {+ Với t=-1 có x=1-\sqrt{5} (6)}\\ {+ với t=-3 có x=1-\sqrt{13} (7)} \end{array}} \right.$
Từ

$(6),(7)$ suy ra tập hợp nghiệm của phương trình khi

$m=-3$ là

$\left\{ {x=1-\sqrt{5}; x=1-\sqrt{13}} \right\}$
b) Thấy rằng với mọi

$t$ , phương trình

$(1)$ luôn có nghiệm hoặc

$(4.1)$ hoặc

$(4.2)$
Bởi vậy phương trình

$(1)$ có nghiệm khi và chỉ khi phương trình

$(5)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta'_t \geq 0 \Leftrightarrow 4+m \geq 0 \Leftrightarrow m \geq -4$

Bài 110093

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110093

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan