Bài 109778

Question

Cho hình chóp

$S.ABC$ có

$SA=2a$ và vuông góc với mặt phẳng

$(ABC)$ ,đáy

$ABC$ là tam giác vuông cân tại

$B$ với

$AB=a$ .Gọi

$M$ là trung điểm của

$AC$

$a.$ Hãy dựng đoạn vuông góc chung của

$SM,BC$

$b.$ Tính độ dài đoạn vuông góc chung của

$SM,BC$

score 0 · Answer 1

$a.$ Để dựng đoạn vuông góc chung của

$SM,BC$ ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:
Cách

$1:$ Gọi

$N$ là trung điểm

$AB$ suy ra :

$BC//MN\Rightarrow BC//(SMN)$
Ta có :

$\begin{cases}MN\bot AB\\MN\bot SA \end{cases} \Rightarrow MN\bot (SAB)\Rightarrow (SMN)\bot (SAB)$ và

$(SMN)\cap (SAB)=SN$
Hạ

$BH\bot SN$ suy ra

$BH\bot (SMN)$
Từ

$H$ dựng

$Hx$ song song với

$BC$ và cắt

$SM$ tại

$E$
Từ

$E$ dựng

$Ey$ song song với

$BH$ và cắt

$BC$ tại

$F$
Đoạn

$EF$ là đoạn vuông góc chung của

$SM,BC$
Cách

$2:$ Nhận xét rằng :

$\begin{cases}BC\bot AB\\BC\bot SA \end{cases} \Rightarrow BC\bot (SAB)$
Do đó

$(SAB)$ chính là mặt phẳng qua

$B$ thuộc

$BC$ và vuông góc với

$BC$
Gọi

$N$ là trung điểm

$AB$ suy ra:

$MN//BC\Rightarrow MN\bot (SAB)$
suy ra

$SN$ là hình chiếu vuông góc của

$SM$ trên

$(SAB)$
Hạ

$BH\bot SN$ suy ra

$BH\bot (SMN)$
Từ

$H$ dựng

$Hx$ song song với

$BC$ và cắt

$SM$ tại

$E$
Từ

$E$ dựng

$Ey$ song song với

$BH$ và cắt

$BC$ tại

$F$
Đoạn

$EF$ là đoạn vuông góc chung của

$SM,BC$

$b.$ Nhận xét rằng

$\Delta SAN,\Delta BHN$ la hai tam giác vuông có hai góc nhọn đối đỉnh nên chúng đồng dạng suy ra :

$\frac{BH}{SA} =\frac{BN}{SN}\Rightarrow BH=\frac{SA.BN}{SN}$
trong đó :

$BN=\frac{1}{2} AB=\frac{a}{2}$

$SN^2=SA^2+AN^2=(2a)^2+(\frac{a}{2} )^2=\frac{17a^2}{4} \Rightarrow SN=\frac{a\sqrt{17} }{2}$
suy ra :

$BH=\frac{2a.\frac{a}{2} }{\frac{a\sqrt{17} }{2} } =\frac{2a\sqrt{17} }{17}$

Bài 109778

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109778

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan