Bài 109701

Question

Giả sử S là tổng của tất cả các ước số lẻ lớn nhất của các số tự nhiên từ $1$ đến $2^{n}$. Chứng minh rằng $3S=4^{n}+2$

score 0 · Answer 1

Do sự phụ thuộc vào n, kí hiệu tổng tất cả các ước số lẻ lớn nhất của các số tự nhiên từ $1$ đến $2^{n}$ là S(n).
Các số tự nhiên từ $1$ đến $2^{n} (n \in N)$ bao gồm các số lẻ từ $1$ đến $2^{n}$ và gấp đôi của các số tự nhiên từ $1$ đến $2^{n-1}$. Vì mỗi số lẻ là ước lẻ lớn nhất của chính nó và khi chia đôi một số chẵn ta không làm thay đổi các ước lẻ của nó, nên ta có:
$S(n)=S(n-1)+1+3+5+...+\left( 2^{n}-1 \right) $
Tổng của m số lẻ đầu tiên là $m^{2} $ do đó ta được công thức truy hồi $S(n)=S(n-1)+4^{n-1}(*)$
Chứng minh kết luận bằng phương pháp quy nạp toán học:
Với $n=0: 3S(0)=3.1=4^{0}+2$ thỏa mãn công thức $3S(n)=4^{n}+2$
Bây giờ giả sử đẳng thức trên đúng vói $k \leq n-1 $ tức là $3S(n-1)=4^{n-1}+2$ .
Ta phải chứng minh:
$3S(n)=4^{n}+2$
Thật vậy, $3S(n)=3S(n-1)+3.4^{n-1}=4^{n-1}+2+3.4^{n-1}=4^{n}+2$
(điều phải chứng minh )

Vậy ta có đpcm.

Bài 109701

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109701

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan