Bài 102186

Question

Cho dãy số tự nhiên $u_0,u_1,u_2,....,u_n.... $ với $ u_0 = 1 $ và $ u_{n + 1}< u_0 + u_1+ u_2+ ... + u_n $
Chứng minh rằng : $ u_{n + 1} < 2^n,\forall n \in N $

score 0 · Answer 1

Khi n = 0, ta có: $ {u_1} < {u_0} = 1 = {2^n} $
Giả sử ta có:
$ \begin{array}{l}
{u_1} < {2^0}\\
{u_2} < {2^1}\\
{u_3} < {2^2} & & & & (2)\\
.....\\
{u_k} < {2^{k - 1}}
\end{array} $
Ta chứng minh rằng : $ {u_{k + 1}} < {2^k} $ (3)
Theo giả thiết ta có:
$ \begin{array}{l}
{u_{k + 1}} < {u_0} + {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_k}
\Rightarrow {u_{k + 1}} < 1 + {2^0} + {2^1} + .... + {2^{k - 1}}= 2^{1}+ \\ 2^{1} + 2^{2}+...+ 2^{k-1}= 2^{2}+ 2^{2}+...+2^{k-1}=...= 2^{k-1}+ 2^{k-1}= 2^{k}\\hay {u_{k + 1}} < 2^{k}
\end{array} $
(3) đã được chứng minh.

Theo nguyên lý quy nạp, ta đã giải quyết xong bài toán .

Bài 102186

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102186

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan