Bài 109686

Question

Cho $f(x)=x^2+(m+1)x+2|x+m-1|+(m+1)^2$
Tìm $m$ để $\mathop {\min}\limits_{R} f(x) \leq 3$

score 0 · Answer 1

Đặt $|x+m-1|=t \Leftrightarrow x=1-m\pm t$ với điều kiện $t \geq 0$
* Trường hợp 1: $x=1-m+t, f(x)$ trở thành $f_1(t)=t^2-2(m-2)t+2(m^2+1)   (2)$
Xét $t_0=-\frac{b'}{a}=m-2$
+ $t_0 \leq 0 \Leftrightarrow m \leq 2$. Sẽ có $\mathop {\min}\limits_{t \geq 0} f_1(t)=f(0)=2(m^2+1) \leq 3 \Leftrightarrow 2m^2 \leq 1 \Leftrightarrow |m|=\frac{1}{\sqrt{2}}   (3)$
+ $t1-0>0 \Leftrightarrow m>2               (4)$
Sẽ có $\mathop {\min}\limits_{t \geq 0} f(t)=-\frac{\Delta'}{a}=m^2+4m-2 \leq 3 \Leftrightarrow m^2+4m-5 \leq 0 \Leftrightarrow -5 \leq m \leq 1    (5)$
Đối chiếu với $(4) \Rightarrow $ kết quả $(5)$ không thích hợp            $(6)$
* Trường hợp 2: $x=1-m-t, f(x)$ trở thành $f_2(t)=t^2+2mt+2(m^2+1)                   (8)$
Xét $t_0=-\frac{b'}{a}=-m$
+ $m \geq 0 \Leftrightarrow t_0 \leq 0$. Sẽ có $\mathop {\min}\limits_{t \geq 0} f_1(t)=f(0)=2(m^2+1) \leq 3$
        $\Leftrightarrow 2m^2 \leq 1 \mathop {\Leftrightarrow}\limits^{m \geq 0} 0 \leq m \leq \frac{1}{\sqrt{2}}          (9)$
+ $m<0 \Leftrightarrow t_0>0$. Sẽ có $\mathop {\min}\limits_{t \geq 0} f_2(t)=-\frac{\Delta}{a}=m^2+2 \leq 3\Leftrightarrow m^2 \leq 1 \mathop {\Leftrightarrow}\limits^{m \geq 0} -1 \leq m \leq 0     (10)$
Từ $(9),(10)$ suy ra $\mathop {\min}\limits_{t \geq 0} f_2(t) \leq 3 \Leftrightarrow -1\leq m \leq \frac{1}{\sqrt{2}}        (11)$
Từ $(7),(11)$ kết luận tập hợp tất cả các giá trị phải tìm của $m$ là $-1 \leq m \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Bài 109686

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109686

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan