Bài 109680

Question

Tìm giá trị lớn nhất của $m$ thoả mãn hệ sau có nghiệm
$\begin{cases}x^2+x-12 \leq 0 (1)\\ x^2+4mx+3m^2-4m-4 \leq 0 (2) \end{cases}$

score 0 · Answer 1

Viết lại $(1) \Leftrightarrow x \in D=[-4;3]$
Gọi $f(x)=x^2+4mx+3m^2-4m-4$. Rõ rằng hệ có nghiệm $\Leftrightarrow \min_D f(x) \leq 0$
Hoành độ parabol là $x_0=-\frac{b'}{a}=-2m$
+ Nếu $-2m \leq -4 \Leftrightarrow m \geq 2$ thì $\min_D f(x)=f(-4)=3m^2-20m+12$
Ta có: $3m^2-20m+12 \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2}{3} \leq m \leq 6$. Kết hợp với $m \geq 2$ có:
$\min_Df(x) \leq 0 \Leftrightarrow 2 \leq m \leq 6             (3)$
+ Nếu $-2m \leq 3 \Leftrightarrow m \leq -\frac{3}{2}$ thì $\min_D f(x)=f(3)=3m^2+8m+5$
Ta có: $3m^2+8m+5 \leq 0 \Leftrightarrow -\frac{5}{3} \leq m \leq -1$. Kết hợp với $m \leq -\frac{5}{3}$ có:
$\min_Df(x) \leq 0 \Leftrightarrow -\frac{5}{3} \leq m \leq -\frac{3}{2}             (4)$
+ nếu $-4<-2m<3 \Leftrightarrow -\frac{3}{2}< m<2$ thì $\min_Df(x)=f(-2m)=-(m+2)^2 \leq 0, \forall m \in R$
Kết hợp với $-\frac{3}{2}<m<2 \Rightarrow \min_Df(x) \leq 0 \Leftrightarrow -\frac{3}{2}<m<2      (5)$
Từ $(3),(4),(5)$ suy ra $\min_Df(x) \leq -\frac{5}{3} \leq m \leq 6$ Do vậy giá trị lớn nhất của $m$ thỏa mãn hệ phương trình có nghiệm là $m=6$

Bài 109680

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109680

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan