Bài 109278

Question

Cho họ đường thẳng $(d_{\alpha })$ có phương trình: $(d_\alpha ): x.\cos\alpha +y.\sin\alpha +2\cos\alpha +1=0$
a. Chứng minh rằng mọi thẳng của họ đều tiếp xúc với một đường tròn cố định.
b. Cho điểm $I(-2;1)$. Dựng $IH\bot (d_\alpha )(H\in d_\alpha )$ và kéo dài $IH$ một đoạn $HN=2HI$. Tính tọa độ của $N$ theo $\alpha $

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/21/2012 5:09:24 PM

a. Giả sử đường tròn $(C)$ tâm $K(a,b)$ bán kính $R$ luôn tiếp xúc với $(d_\alpha )$
$\Leftrightarrow d(I, (d_m))=R , \forall \alpha $
$\Leftrightarrow \frac{|a.\cos \alpha +b.\sin\alpha +2.\cos\alpha +1|}{\sqrt{\cos^2\alpha +\sin^2\alpha } } =R, \forall \alpha $
$\Leftrightarrow |(a+2)\cos\alpha +b.\sin \alpha +1|=R,, \forall \alpha \Leftrightarrow \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a+2=0\\ b=0\\R=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=-2\\ b=0\\R=1 \end{array} \right. $
Khi đó đường tròn $(C)$ có tính chất:
$(C):\left\{ \begin{array}{l} tâm K(-2;0)\\ bán kính R=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow (C):(x+2)62+y^2=1$
vậy $(d_\alpha )$ luôn tiếp xức với đường tròn cố định $(C)$.

b. Gọi $(\Delta )$ là đường thẳng qua $I$ và vuông góc với $(d_\alpha )$, phương trình $(\Delta )$ được cho bởi $(\Delta ):\left\{ \begin{array}{l} qua I(-2;1)\\ vtcp \overrightarrow{n}(\cos\alpha , \sin\alpha ) \end{array} \right. \Leftrightarrow (\Delta ):\frac{x+2}{\cos\alpha }=\frac{y-1}{\sin\alpha } $
$\Leftrightarrow (\Delta ):x\sin\alpha -y\cos\alpha +2\sin\alpha +\cos\alpha =0$
Khi đó tọa độ điểm $H$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l} x\cos\alpha +y\sin\alpha =-2\cos\alpha -1\\ x.\sin\alpha -y.\cos\alpha =-2\sin\alpha -\cos\alpha \end{array} \right. $
$\Rightarrow $ Tọa độ điểm $H$
Kéo dài $IH$ một đoạn $HN=2HI$
$\Leftrightarrow \overrightarrow{HN}=2\overrightarrow{IH} \Leftrightarrow N:\left\{ \begin{array}{l} x_N=3x_H-2x_I\\ y_N=3y_H-2y_I \end{array} \right. \Rightarrow $ Đó là tọa độ điểm $H$

Bài 109278

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109278

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan