Bài 109217

Question

Với mỗi $a\geq 0$, giải bất phương trình : $a^3x^4+6a^2x^2-x+9a+3 \geq 0 (1)$

score 0 · Answer 1

* $a=0$, Ta có $(1) \Leftrightarrow x \leq 3                      (2)$
* $a>0$ Nhân hai vế với $a$ có $(1) \Leftrightarrow a^4x^4+6a^3x^2-ax+9a^2+3a \geq 0    (3)ặt $
Đặt $t=ax$, phương trình $(3)$ trở thành $t^4+at^2-t+a^2+a \geq $
$\Leftrightarrow a^2+(t^2+)a+t^4-t \geq   0               (4)$
$\Delta_a=9(2t^2+1)^2-4.9(t^4-t)=9(4t^2+4t+1)=9(2t+1)^2$
VP$(4)=0 \Leftrightarrow a=\frac{-3(2t^2+1)\pm 3(2t+1)}{18} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a_1=\frac{t^2+t+1}{-3}}\\
{a_2=\frac{-t^2+t}{3}}
\end{array}} \right.$ Suy ra:
VP$(4)=9(a-a_1)(a-a_2)=9(a+\frac{t^2+t+1}{3})(a-\frac{-t^2+t}{3})=(t^2+t+1+3a)(t^2-t+3a)$
Suy ra: $(4) \Leftrightarrow (t^2+t+1+3a)(t^2-t+3a) \geq 0      (5)$
Để ý : $t^2+t+1+3a=(t+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}+3a>0, \forall a>0$ Bởi vậy:
$(5) \Leftrightarrow t^2-t+3a \geq 0 \Leftrightarrow a(x^2-x+3) \geq 0 \Leftrightarrow ax^2-a+3) \geq 0 \Leftrightarrow ax^2-x+3 \geq 0    (6)$
$\Delta_x=1-12a \leq 0 \Leftrightarrow a \geq \frac{1}{12}$
Các nghiệm nếu có của phương trình $ax^2-x+3=0$ là $x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{1-12a}}{2}$
Suy ra: $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a \geq \frac{1}{12}(\Delta \leq 0) sẽ có 6 nghiệm \forall x\in R}\\
{0<a<\frac{1}{12} (\Delta>0) sẽ có 6 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x \leq \frac{1-\sqrt{1-12a}}{2}}\\
{x \geq \frac{1+\sqrt{1-12a}}{2}a}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.$
Tóm lại: * $a=0$: Bất phương trình có tập nghiệm là: $x \leq 3$
         * $0<a\leq \frac{1}{12}$: Bất phương trình có tập nghiệm là: $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{ x \leq\frac{1-\sqrt{1-12a}}{2}}\\
{x \geq \frac{1+\sqrt{1-12a}}{2}}
\end{array}} \right.$
         * $a \geq \frac{1}{12}$: Bất phương trình có tập nghiệm là $R$

Bài 109217

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109217

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình, bất phương trình bậc hai và các bài toán liên quan

Phương trình, bất phương trình bậc cao

Lý thuyết liên quan