Viết lại hàm số dưới dạng:
$y=\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}+\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$
Xét các điểm $A(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),B(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$ và $M(x;0)$,khi đó:
$\overrightarrow{AM}(x+\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$\overrightarrow{AB}(1;-\sqrt{3})$
$\overrightarrow{BM}(
x-\frac{1}{2} ;
\frac{\sqrt{3}}{2} )$
$AM=\sqrt{x^{2}+x+1}$và $BM=\sqrt{x^{2}-x+1}$
suy ra: $S=AM+BM\geq AB=\sqrt{1+3}=2$. Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow $khi $ A,B,N$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow {AM}//\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \frac{x+\frac{1}{2}}{1}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=0$
Vậy GTNN của hàm số $S_{min}=2$, đạt được khi x=0.