Bài 109084

Question

Tìm giá trị nhở nhất của hàm số:

$y=\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}$

score 0 · Answer 1

Viết lại hàm số dưới dạng:

$y=\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}+\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}$

Xét các điểm

$A(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}),B(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$ và

$M(x;0)$ ,khi đó:

$\overrightarrow{AM}(x+\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$\overrightarrow{AB}(1;-\sqrt{3})$

$\overrightarrow{BM}( x-\frac{1}{2} ; \frac{\sqrt{3}}{2} )$

$AM=\sqrt{x^{2}+x+1}$ và

$BM=\sqrt{x^{2}-x+1}$

suy ra:

$S=AM+BM\geq AB=\sqrt{1+3}=2$ . Dấu bằng xảy ra

$\Leftrightarrow$ khi

$A,B,N$ thẳng hàng

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM}//\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \frac{x+\frac{1}{2}}{1}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{-\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=0$

Vậy GTNN của hàm số

$S_{min}=2$ , đạt được khi x=0.

Bài 109084

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109084

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan