Bài 108844

Question

Cho $\Delta ABC, G$ là trọng tâm và $M$ là điểm tùy ý.
a. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB} =0 $
b. Chứng minh rằng $MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3MG^2$, từ đó suy ra vị trí của $M$ để $MA^2+MB^2+MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/20/2012 9:21:07 AM

a.Ta có:
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {MC} .\overrightarrow {AB} \\
   = \overrightarrow {MA} .(\overrightarrow {MC} - \overrightarrow {MB} ) + \overrightarrow {MB} .(\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MC} ) + \overrightarrow {MC} .(\overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MA} ) = 0
\end{array}$

b. Ta có:
$\begin{array}{l}
M{A^2} = \overrightarrow {M{A^2}} = {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} )^2} = M{G^2} + G{A^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} \,\,\,\,   (1)\\
M{B^2} = \overrightarrow {M{B^2}} = {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} )^2} = M{G^2} + G{B^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} \,\,\,    (2)\\
M{C^2} = \overrightarrow {M{C^2}} = {(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} )^2} = M{G^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} \,\,\,\, (3)
\end{array}$

Cộng theo vế $(1), (2), (3)$ ta được:
$\begin{array}{l}
M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\\
= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2} + \overrightarrow {MG} .(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} )\\
= 3M{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\,\,\,v{\rm{ì }}\, \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0
\end{array}$
Từ đó suy ra $MA^2+MB^2+MC^2$ đạt giá trị nhỏ nhất $MG^2=0\Leftrightarrow M\equiv G$

Bài 108844

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108844

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan