Bài 108233

Question

Cho hàm số $g(x)=\sin x\sin 2x\sin 5x$
1. Tìm họ nguyên hàm của g(x)
2. Tính $I=\int\limits_{-\frac{\pi}{2} }^{\frac{\pi}{2} }\frac{g(x)dx}{e^x+1} $

score 0 · Answer 1

1. Sử dụng các phép biến đổi tích thành tổng ta được:
         $g(x)=\frac{1}{2}(\sin 6x-\sin 2x)\sin 2x=\frac{1}{2}(\sin 6x\sin 2x-\sin ^22x) $
               $=\frac{1}{2} [\frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 8x)-\frac{1}{2}(1-\cos 4x)]=\frac{1}{4}(\cos 2x+\cos 4x-\cos8x-1)   $
Khi đó:
         $G(x)=\frac{1}{4}\int\limits (\cos 2x+\cos 4x-\cos 8x-1)dx $
                $=\frac{1}{4}(\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{1}{4}\sin 4x-\frac{1}{8}\sin 8x-x)+C    $
                $=\frac{1}{32}(4\sin 2x+2\sin 4x-\sin 8x-x)+C $
2. Biến đổi về dạng:
          $I=\int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{0}\frac{g(x)dx}{e^x+1}+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{g(x)dx}{e^x+1}=I_1+I_2                                                                           (1)$
Xét tích phân $I_1$ bằng cách đặt $x=-t$ suy ra $dx=-dt$
Đổi cận:
+) $x=-\frac{\pi}{2} \rightarrow t=-\frac{\pi}{2} $
+) $x=0 \rightarrow t=0$
Khi đó:
       $I_1=\int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{0}\frac{g(-t)(-dt)}{e^{-t}+1}=\int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{0}\frac{e^tg(t)dt}{e^t+1}=\int\limits_{\frac{\pi}{2} }^{0}\frac{e^xg(x)dx}{e^x+1} (2) $
Thay (2) vào (1) được:
         $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{e^xg(x)dx}{e^x+1} +\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{g(x)dx}{e^x+1}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }\frac{(e^x+1)g(x)dx}{e^x+1}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2} }g(x)dx$
              $=\frac{1}{32}( 4\sin 2x+2\sin 4x-\sin 8x-x) \left| \begin{array}{l}
\frac{\pi }{2}\\
0
\end{array} \right.=-\frac{\pi}{64} $

Bài 108233

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108233

1 Đáp án

Liên quan

Tích phân hàm cơ bản

Lý thuyết liên quan