1. Khái niệm tích phân
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f liên tục trên K và a,b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số
F(b)−F(a)
được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là
b∫af(x)dx
Trong trường hợp a<b, ta gọi b∫af(x)dx là tích phân của f trên đoạn [a;b].
Người ta còn dùng kí hiệu F(x)|ba để chỉ hiệu số F(b)−F(a). Như vậy, nếu F là 1 nguyên hàm của f trên K thì: b∫af(x)dx=F(x)|ba
Vì ∫f(x)dx là 1 nguyên hàm bất kì của F nên ta có
b∫af(x)dx=(∫f(x)dx)|ba
CHÚ Ý
Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x. Chẳng hạn, nếu sử dụng chữ t, chữ u…làm biến số lấy tích phân thì
b∫af(t)dt,b∫af(u)du,.. đều là một số và số đó bằng F(b)−F(a).
ĐỊNH LÍ 1
Cho hàm số y=f(x) liên tục, không âm trên đoạn [a;b]. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm sốy=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là
S=b∫af(x)dx
3. Tính chất của tích phân
ĐỊNH LÍ 2
Giả sử các hàm số f,g liên tục trên K và a,b,c, là ba số bất kì thuộc K. Khi đó ta có
1) a∫af(x)dx=0;
2) b∫af(x)dx=−a∫bf(x)dx
3) b∫af(x)dx+c∫bf(x)dx=c∫af(x)dx
4) b∫a[f(x)+g(x)]dx=a∫bf(x)dx+a∫bg(x)dx
5) b∫akf(x)dx=kb∫af(x)dx với k∈R
|