Bài 108043

Question

Cho parabol $y=x^2-2x$ và elip $\frac{x^2}{9}+y^2=1 $
$a.$ Chứng tỏ rằng parabol và elip cắt nhau tại bốn điểm phân biệt $A,B,C,D$
$b.$ Chứng minh rằng bốn điểm $A,B,C,D$ cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó

score 0 · Answer 1

$a. (P):y=x^2-2x$ và $(E): \frac{x^2}{9}+y^2=1$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P$ và $(E)$ :
$\frac{x^2}{9} +(x^2-2x)^2=1\Leftrightarrow 9x^4-26x^3+37x^2-9=0 (1)$
$f(x)=9x^4-26x^3+37x^2-9=0$
$\left.\begin{matrix} f(-3)>0\\ f(0)<0\end{matrix}\right\}\Rightarrow f(-3).f(0)<0\Rightarrow (1)$ có một nghiệm trong $(-3;0)$
$\left.\begin{matrix} f(0)<0\\ f(1)>0\end{matrix}\right\}\Rightarrow f(0).f(1)<0\Rightarrow (1)$ có một nghiệm trong $(0;1)$
$\left.\begin{matrix} f(1)>0\\ f(2)<0\end{matrix}\right\}\Rightarrow f(1).f(2)<0\Rightarrow (1)$ có một nghiệm trong $(1;2)$
$\left.\begin{matrix} f(3)>0\\ f(2)<0\end{matrix}\right\}\Rightarrow f(3).f(2)<0\Rightarrow (1)$ có một nghiệm trong $(2;3)$
Phương trình $9x^4-26x^3+37x^3-9=0$ có bốn nghiệm phân biệt nên parabol và elip cắt nhau tại bốn điểm phân biệt
$b. A,B,C,D$ có tọa độ nghiệm đúng hệ:
$\begin{cases}y=x^2-2x \\ \frac{x^2}{9} +y^2=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}8y=8x^2-16x \\ x^2+9y^2=9 \end{cases} $
$\Rightarrow 9x^2+9y^2-16x-8y-9=0$
Hay $x^2+y^2-\frac{16}{9} x-\frac{8}{9} y-1=0$
$(x-\frac{8}{9} )^2+(y-\frac{4}{9} )^2=\frac{161}{81} $
Bốn điểm $A,b,C,D$ nằm trên đường tròn có tâm $I(\frac{8}{9} ;\frac{4}{9} )$ và bán kính $\frac{\sqrt{161} }{9} $

Bài 108043

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108043

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan