Bài 107924

Question

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số $f(x)=\frac{2x^2+10x+3}{3x^2+2x+1}. $
Suy ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: $\frac{2x^2+10x+3}{3x^2+2x+1}. $

Thu Hằng · Answer 1 · 6/12/2012 9:56:53 PM

Gọi $y_0$ là giá trị tùy ý của hàm số. Khi đó phương trình theo ẩn $x$ sau đây phải có nghiệm:
                           $\frac{2x^2+10x+3}{3x^2+2x+1}=y_0                   (1)$
Do $3x^2+2x+1>0 (\forall x),$ nên:
$(1)\Leftrightarrow 2x^2+10x+3=3y_0x^2+2y_0x+y_0$
$\Leftrightarrow (3y_0-2)x^2+2(y_0-5)x+y_0-3=0.             (2)$
$1.$ Nếu $3y_0-2=0\Leftrightarrow y_0=\frac{2}{3} $ thì $(y_0-5)\neq 0.$
Vậy $(2)$ có nghiệm tức là $f(x)$ nhận giá trị $\frac{2}{3}$ với $x$ nào đó.
$2.$ Nếu $3y_0-2 \neq 0\Leftrightarrow y_0 \neq \frac{2}{3} $ thì $(2)$ là phương trình bậc hai đối $x$. Do vậy $(2)$ có nghiệm khi và chỉ khi:
$\Delta'=(y_0-5)^2-(3y_0-2)(y_0-3)\geq 0$
$\Leftrightarrow -2y^2_0+y_0+19\geq 0\Leftrightarrow 2y_0^2-y_0-19\leq 0$
$\Leftrightarrow \frac{1-\sqrt{153} }{4}\leq y_0\leq \frac{1+\sqrt{153} }{4} $
và $y_0\neq \frac{2}{3} .$
Tóm lại, miền giá trị của hàm số là:
$\left[ \frac{1-\sqrt{153} }{4}; \frac{1+\sqrt{153} }{4} {} \right]$
Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức:
$\frac{2x^2+10x+3}{3x^2+2x+1} $ lần lượt là $ \frac{1-\sqrt{153} }{4}; \frac{1+\sqrt{153} }{4}$

Bài 107924

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107924

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan