Bài 107871

Question

Trên mặt phẳng $Oxy$ cho hypebol có phương trình :
$(H): \frac{x^2}{24} -\frac{y^2}{12} =1$
$a.$ Xác định độ dài hai trục, tiêu cự, tâm sai, tọa độ các đỉnh, tọa độ các tiêu diểm, phương trình tiệm cận
$b.$ Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng $x=5$ với hypebol và tính khoảng cách từ những điểm đó đến hai tiêu điểm
$c$ Tìm giá trị của $a$ để đường thẳng $y=ax-2$ có điểm chung với hypebol

score 0 · Answer 1

$a. (H): \frac{x^2}{24} -\frac{y^2}{12} =1$
$\Rightarrow a^2=24\Rightarrow a=2\sqrt{6} $
$\Rightarrow b^2=12\Rightarrow b=2\sqrt{3} $
$c^2=36\Rightarrow c=6 (c^2=a^2+b^2)$
Vậy độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tâm sai lần lượt là :
$2a=4\sqrt{6},2b=4\sqrt{3},F_1F_2=2c=12 $
Tọa độ các đỉnh : $A_1(-2\sqrt{6};0 ), A_2(2\sqrt{6};0 )$
Tọa độ các điểm $F_1(-6;0), F_2(6;0)$
Phương trình đường tiệm cận : $y=\frac{\sqrt{2} }{2} x; y=-\frac{\sqrt{2} }{2} x$
$b$ Tọa độ giao điểm của đường thẳng $x=5$ với $(H)$ là nghiệm của hệ phương trình :
$\begin{cases}x=5 \\ \frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=5 \\ y=\frac{\sqrt{2} }{2} \end{cases} , \begin{cases}x=5 \\ y=-\frac{\sqrt{2} }{2} \end{cases} $
Vậy đường thẳng cắt $(H)$ tại hai điểm : $M_1(5;\frac{\sqrt{2} }{2} ), M_2(5;-\frac{\sqrt{2} }{2} )$
$M_1F_1=\sqrt{(5+6)^2+(\frac{\sqrt{2} }{2} )^2} =\sqrt{\frac{243}{2} } $
$M_1F_2=\sqrt{(5-6)^2+(\frac{\sqrt{2} }{2} )^2} =\sqrt{\frac{3}{2} } $
Tính khoảng cách từ $M_2$ đến $F_1,F_2$ độc giả tự làm
$c.$ Muốn đường thẳng $y=ax-2$ có điểm chung với hypebol thì hệ phương trình sau phải có nghiệm : $\begin{cases}\frac{x^2}{24} -\frac{y^2}{12} =1 \\ y=ax-2 \end{cases} $
hay phương trình $(1-2a^2)x^2+8ax-32=0$ có nghiệm
$\Rightarrow \Delta '=16a^2+32(1-2a^2)\geq 0\Rightarrow -\frac{\sqrt{6} }{3} \leq a\leq \frac{\sqrt{6} }{3} $

Bài 107871

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107871

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan