Bài 107788

Question

Cho tứ diện

$ABCD$ , bốn điểm

$P, Q, R, S$ lần lượt nằm trên bốn cạnh

$AB, BC, CD, DA$ và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng bốn điểm

$P, Q, R, S$ đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng

$PQ, RS, AC$ hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.

phuongna · Answer 1 · 6/11/2012 4:45:12 PM

Nếu

$P, Q, R, S$ đồng phẳng thì chúng cùng thuộc một mp

$(P)$ nào đó. Xét ba mặt phẳng: mp

$(P)$ , mp

$(ABC)$ , mp

$(ACD)$ .
Ta có:

$PQ=(P)\cap (ABC), RS=(P)\cap (ACD), AC=(ABC)\cap (ACD).$ Theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta suy ra

$PQ, AC, RS$ hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.

Ngược lại nếu ba đường thẳng

$PQ, AC, RS$ đôi một song song hoặc đồng quy thì hai đường thẳng

$PQ$ và

$RS$ hoặc song song hoặc cắt nhau. Vậy hai đường thẳng

$PQ$ và

$RS$ cùng thuộc một mặt phẳng; từ đó bốn điểm

$P, Q, R, S$ đồng phẳng.

Đăng bài 11-06-12 04:45 PM

phuongna
71 1 2

15K 167K

1 Đáp án