Bài 107768

Question

Trên 3 cạnh của một tam diện vuông đỉnh

$O$ ta lấy

$OA=OB=OC=a$
a) Chứng minh rằng tam giác

$ABC$ đều và tính diện tích của nó
b) Tính độ dài đừng cao hạ từ

$O$ xuống mặt phẳng

$(ABC)$ . Gọi

$D$ là điểm đối xứng của

$H$ qua

$O$ . Chứng minh rằng

$ABCD$ là tứ diện đều

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/12/2012 8:52:52 AM

a) Chọn hệ trục tọa độ

$Oxyz$ như sau:
- Gốc

$O$ là đỉnh tam diện
- Trục

$Ox$ đi qua

$OA$
- Trục

$Oy$ đi qua

$OB$
- Trục

$Oz$ đi qua

$OC$

Khi đó

$A(0;0;0), B(0;a;0), C(0;0;a)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=(-a;a;0)\Rightarrow AB=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$

$\overrightarrow{AC}=(-a;0;a)\Rightarrow AC=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$

$\overrightarrow{BC}=(0;-a;a)\Rightarrow BC=\sqrt{2a^2}a\sqrt{2}$

$\Rightarrow AB=AC=BC\Rightarrow \Delta ABC$ đều

$\Rightarrow S_{ABC}=AB^2 \frac{\sqrt{3} }{4} =2a^2\frac{\sqrt{3} }{4} =\frac{a^2\sqrt{3} }{2}$

b) Ta có:

$(ABC):\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a} =1\Leftrightarrow x+y+z-a=0$

$\Rightarrow OH=d(O,(ABC))=\frac{|-a|}{\sqrt{3} } =\frac{a}{\sqrt{3} }=\frac{a\sqrt{3} }{3}$
Gọi

$d$ là đường thẳng qua

$O$ và vuông góc với

$(ABC)$

$\Rightarrow \overrightarrow{u}_d =\overrightarrow{n}_{(ABC)}=(1;1;1) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l} x=t\\ y=t\\z=t \end{array} \right. (t\in R)$
Thay vào phương trình của

$(ABC):t+t+t-a=0\Leftrightarrow t=\frac{a}{3}$

$\Rightarrow$ Giao điểm của

$d$ và

$(ABC)$ là:

$H(\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{a}{3} )$

$D$ đối xứng với

$H$ qua

$O\Rightarrow D(-\frac{a}{3};-\frac{a}{3};-\frac{a}{3})$
Ta có:

$\overrightarrow{DA}=(\frac{4a}{3};\frac{a}{3};\frac{a}{3} ) \Rightarrow DA=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$

$\overrightarrow{DB}=(\frac{a}{3};\frac{4a}{3};\frac{a}{3}) \Rightarrow DB=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$

$\overrightarrow{DC}=(\frac{a}{3};\frac{a}{3};\frac{4a}{3}) \Rightarrow DC=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow DA=DB=DC=AB=AC=BC=a\sqrt{2}$
Vậy

$ABCD$ là tứ diện đều

Bài 107768

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107768

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan