a) Từ hệ $\begin{cases}S+2P=0 \\ mS-P=3m+4 \end{cases} $ ta tính được $S=\frac{2(3m+4)}{2m+1}, m \neq -\frac{1}{2} $
$P=-\frac{3m+4}{2m+1}, m \neq -\frac{1}{2} $
Theo hệ quả của định lý Viet, ta thấy ngay $x_1, x_2$ là nghiệm của phương trình
$X^2-\frac{2(3m+4)}{2m+1}X-\frac{3m+4}{2m+1}=0, m \neq -\frac{1}{2} $
$\Rightarrow (2m+1)X^2-2(3m+4)X-(3m+4)=0$
b) $\Delta'=5(3m^2+7m+4)$
Ta được kết quả:
$m<-\frac{4}{3} $: Phương trình có hai nghiệm trái dấu $x_1<0<x_2$ và $|x_2|>|x_1|$.
$m=-\frac{4}{3} $: Phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=0$.
$-\frac{4}{3}<m<-1 $: Phương trình vô nghiệm.
$m=-1$: Phương trình có nghiệm kép $x_1=x_2=1$.
$-1<m<-\frac{1}{2} $: Phương trình có hai nghiệm âm $x_1<x_2<0$.
$m=-\frac{1}{2} $: Phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{1}{2} $.
$m>-\frac{1}{2} $: Phương trình có hai nghiệm trái dấu $x_1<0<x_2$ và $|x_2|>|x_1|$.
c) Để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn điều kiện.
$-1<x_1<4<x_2$ hoặc $x_1<-1<x_2<4$ ta phải có: $f(-1).f(4)<0$
với $f(-1)=5m+5; f(4)=5m-20$
$\Rightarrow (5m+5)(5m-20)<0 \Leftrightarrow -1<m<4$.