Bài 107636

Question

Cho họ đường tròn $(C_m)$ có phương trình :
$(C_m) :x^2-2mx+y^2-2(m+1)y-12=0$
$a.$ Tìm quỹ tích tâm của họ đường tròn trên.
$b.$ Tìm $m$ sao cho bán kính đường tròn nhỏ nhất
$c.$ Khi $m=2$ cho đường thẳng $d$ có phương trình : $3x-4y+12=0$. Tìm khoảng cách ngắn nhất giữa $d$ và $(C_2)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Đường tròn $(C_m)$ có phương trình :
$x^2-2mx+y^2-2(m+1)y-12=0$
$\Leftrightarrow a^2+b^2-c>0\Leftrightarrow m^2+(m+1)^2+12>0,\forall m$
Tọa độ tâm $K$ của đường tròn là : $\begin{cases}x_K=m (1) \\ y_K=-(m+1) (2)\end{cases} $
Thế $(1)$ vào $(2)$ suy ra : $y_K=-x_K-1$
Vậy quỹ tích tâm $K$ của đường tròn $C_m$ là đường thẳng $y:-x-1$
$b.$ Ta có : $R^2=a^2+b^2-c=m^2(m+1)^2+12$
$=2m^2+2m+13=2(m+\frac{1}{2} )^2+\frac{25}{2} \geq \frac{25}{2} $
Dấu $"="$ xảy ra khi $m=-\frac{1}{2} $
Vậy khi $m=-\frac{1}{2} $ thì bán kính đường tròn $(C_m)$ có giá trị nhỏ nhất
$c.$ Khi $m=2$ ta có phương trình đường tròn $(C_2)$ là :
$(C_2): x^2+y^2-4x+6y-12=0$
hay $(x-2)^2+(y+3)^2=25$
Đường tròn $(C_2)$ có tâm $K(2;-3)$ đến đường thẳng $d: 3x-4y+12=0$ là
$d(K,d)=\frac{3.2-4(-3)+12}{\sqrt{9+16} } =6$
Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến của $(C_2)$ song song với $d\forall M\in (C_2)$
$d(M,d)=d(M,\Delta )+d(\Delta ,d)\geq d(\Delta ,d)=6-5=1$
Dấu $"="$ xảy ra khi $M$ về đến $M_0$
Vậy khoảng cách ngắn nhất giữa $d$ và $(C_2)$ là $1$

Bài 107636

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107636

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan