Bài 107549

Question

Cho hai đường tròn có phương trình :
$(C') :x^2+y^2-6x+6y+17=0; (C) : x^2+y^2=1$
$a.$ Tìm tâm và bán kính của $(C');(C)$
$b.$ Tìm phương trình đường thẳng tiếp xúc cả $2$ đường tròn trên

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta có $(C') : x^2+y^2-6x+6y+17=0\Rightarrow (x-3)^2+(y+3)^2=1$
Đường tròn $(C')$ có tâm $I(3;-3)$ và bán kính $R_1=1$ và đường tròn $(C) :x^2+y^2=1$ có tâm $O(0,0)$ và bán kính $R_2=1$
$b.$ Khoảng cách giữa $2$ tâm :
$OI=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}>R_1+R_2=2 $
Vậy $2$ đường tròn $(C), (C')$ ngoài nhau nên có $4$ tiếp tuyến chung, giả sử đường thẳng $d$ có phương trình $ax+by+c=0$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $\Rightarrow d(O;d)=d(I,d)=1$
$\Rightarrow \begin{cases}\frac{|3a-3b+c|}{\sqrt{a^2+b^2} } =1      (1)\\ \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2} }=1    (2) \end{cases}$
$ \Rightarrow |3a-3b+c|=|c| \Rightarrow 3a-3b+c=\pm c \Leftrightarrow \begin{cases}a-b=0 \\ b-a=\frac{2c}{3} \end{cases}  $
-Trường hợp $1:$
$a-b=0\Rightarrow $ thay vào $(2)$ ta có :$|c|=\sqrt{a^2+b^2} =\sqrt{2b^2} $
$\Leftrightarrow c=\pm \sqrt{2b} $ chọn $b=1$
$\Rightarrow $ có hai đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn là :
$x+y+\sqrt{2}=0 $ và $x+y-\sqrt{2}=0 $
-Trường hợp $2$
$\begin{cases}3(b-a)=2c \\ |c|=\sqrt{a^2+b^2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}3(b-a)=2c \\ c^2=a^2+b^2 \end{cases} (3) \Rightarrow 4(a^2+b^2)=9(b-a)^2$
$\Leftrightarrow 5a^2-18ab+5b^2=0   (*)$ Nhận thấy $b=0\Rightarrow $ hệ $(3)$ vô nghiệm
$\Rightarrow $ chia cả hai vế phương trình $(*)$ cho $b^2\neq 0$ ta có:
$5\frac{a^2}{b^2} -18\frac{a}{b} +5=0$ Đặt $t=\frac{a}{b} $ ta được :
$5.t^2-18t+5=0$
Ta có : $\Delta '=81-25=56\Rightarrow \sqrt{\Delta '}=\sqrt{56}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t_1=\frac{9+\sqrt{56} }{5} \\t_2= \frac{9-\sqrt{56} }{5} \end{array} \right. $
Với $t=\frac{9+\sqrt{56} }{5} \Rightarrow \frac{a}{b} =\frac{9+\sqrt{56} }{5} \Rightarrow a=\frac{9+\sqrt{56} }{5}b $
Chọn $b=1\Rightarrow a=\frac{9+\sqrt{56} }{5} \Rightarrow $ thay vào $(3)\Rightarrow c=\frac{-3(4+\sqrt{56} )}{10} $
$\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn là :
$2(9+\sqrt{56} )x+10y-3(4+\sqrt{56} )=0$
- Tính tương tự với $t=\frac{9-\sqrt{56} }{5} \Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến :
$2(9-\sqrt{56} )x+ 10y- 3(4-\sqrt{56} )=0$

Bài 107549

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107549

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan