Bài 107358

Question

Một hình trụ nội tiếp một hình cầu, có tỉ số giữa diện tích toàn phần của hình trụ và diện tích hình cầu bằng

$m$ . Xác định tỉ số giữa bán kính đáy của hình trụ và bán kính hình cầu để

$m$ lớn nhất.

score 0 · Answer 1

Giả sử bán kính hình cầu bằng

$R$ , bán kính hình trụ bằng

$r$ , đường cao hình trụ bằng

$h$ .
Ta có:

$h=2OH=2\sqrt{R^2-r^2}=2R\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}$
Ta có, theo giả thiết:

$\frac{2\pi r^2+2\pi r.2\sqrt{R^2-r^2}}{4\pi R^2}=m$

$\Leftrightarrow \frac{r^2}{2R^2}+\frac{r}{R}\sqrt{(1-\frac{r^2}{R^2})}=m>0$
Đặt

$\frac{r^2}{R^2}=k$ , ta có:

$k+2\sqrt{(k(1-k)}=2m \Leftrightarrow 5k^2-4(m+1)+4m^2=0 (1)$

$\Delta'=4(m+1)^2-20m^2=4(1+2m-4m^2)$ và

$(1)$ có nghiệm khi:

$1+2m-4m^2\geq 0 \Rightarrow 0<m\leq \frac{1+\sqrt{5}}{4}$
Vậy

$m$ lớn nhất bằng

$\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ khi

$k=\frac{2(m+1)}{5}=\frac{5+\sqrt{5}}{10}$

1 Đáp án