Bài 106508

Question

Một hình lăng trụ nội tiếp một hình nón thỏa mãn các điều kiện :
- Chiều cao hình trụ bằng bán kính đáy hình nón
- Tỉ số giữa diện tích toàn phần hình trụ và diện tích đáy hình nón bằng $m$
xác định góc giữa đường sinh và trục hình nón. Tìm giá trị của $m$ để bài toán giải được

score 0 · Answer 1

Gọi $R$ là bán kính hình nón, $r$ là bán kính đáy hình trụ, $x$ là góc giữa trục và đường sinh nón, $S$ là diện tích toàn phần hình trục, $S'$ là diện tích toàn phần hình nón. Theo giả thiết:
   $m=\frac{S}{S'}=\frac{2\pi r^2+2\pi rR}{\pi rR^2}=\frac{2r(r+R)}{R^2}   (1)$
Mặt khác: $\frac{r}{O_2O_3}=\tan x=\frac{R-r}{R}=1-\frac{r}{R} \Leftrightarrow \frac{r}{R}=1-\tan x$
Thay vào $(1)$ ta có: $m=\frac{2r}{R}(\frac{r}{R}+1)=2(1-\tan x)(2-\tan x)$
      $\Leftrightarrow \tan^2 x-3\tan x+2-\frac{m}{2}=0$
Đặt $\tan x=Y$ thì $Y^2-3Y+2-\frac{m}{2}=0   (2)$
Nghiệm của phương trình $(2)$: $Y=\frac{3\pm \sqrt{1+2m}}{2}$
Do $\frac{R-r}{R}<1$ và $3+\sqrt{1+2m}>4$ nên lấy nghiệm $Y=\frac{3-\sqrt{1+2m}}{2}$
$\Rightarrow \tan x=\frac{3-\sqrt{1+2m}}{2}$
Hơn nữa, do $\frac{R-r}{R}>0$ nên $3-\sqrt{1+2m}>0, 9>1+2m \Leftrightarrow m<4$

Bài 106508

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106508

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan