Giả sử:
5sinx=a(2sinx−cosx+1)+b(2cosx+sinx)+c
=(2a+b)sinx+(2b−a)cosx+a+c
Đồng nhất thức , ta được:
{2a+b=52b−a=0a+c=0↔{a=2b=1c=−2
Khi đó:
f(x)=2(2sinx−cosx+1)+2cosx+sinx−22sinx−cosx+1
=2+2cosx+sinx2sinx−cosx+1−22sinx−cosx+1
Do đó:
∫f(x)dx=∫2dx+∫d(2sinx−cosx+1)2sinx−cosx+1−∫2dx2sinx−cosx+1
=2x+ln|2sinx−cosx+1|−ln|tan(x2−π4)|+C