Bài 107327

Question

Tim nguyên hàm của hàm số:

$f(x)=\frac{4\sin x+3\cos x}{\sin x+2\cos x}$

score 0 · Answer 1

Biến đổi:

$4\sin x+3\cos x=a(\sin x+\cos x)+b(\cos x-2\sin x)$

$=(a-2b)\sin x+(2a+b)\cos x$

Đồng nhất thức, ta được:

$\begin{cases}a-2b=4 \\ 2a+b=3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}a=2 \\ b=-1 \end{cases}$

Khi đó:

$f(x)=\frac{2(\sin x+2\cos x)-(\cos x-2\sin x)}{\sin x+2\cos x} =2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}$

Do đó:

$\int\limits f(x)dx=\int\limits (2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x} )dx=2 \int\limits dx-\int\limits \frac{d(\sin x+2\cos x)}{\sin x+\cos x}$

$=2x-\ln|\sin x+2\cos x|+C$

1 Đáp án