Đặt:
$\begin{cases}u=\sqrt{x^2+a} \\ dv=dx \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}du=\frac{xdx}{\sqrt{x^2+a} } \\ v=x \end{cases} $
Khi đó:
$I=\int\limits f(x)dx=x \sqrt{x^2+a}-\int\limits \frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+a} } (1)$
Biến đổi $J=\int\limits \frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+a} } $ như sau:
$J=\int\limits \frac{x^2dx}{\sqrt{x^2+a} }=\int\limits \frac{[(x^2+a)-a]dx}{\sqrt{x^2+a} }=\int\limits \sqrt{x^2+a} dx-a \int\limits \frac{dx}{\sqrt{x^2+a} } $
$=I-a\ln |x+\sqrt{x^2+a}| +C (2)$
Thay (2) vào (1) ta được :
$I= x \sqrt{x^2+a}- (I-a\ln |x+\sqrt{x^2+a}| +C )$
$\Leftrightarrow I=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a}+\frac{a}{2} \ln|x+\sqrt{x^2+a} |+C $