Ta có:
$ \frac{6x^3+8x+1}{(3x^2+4)\sqrt{x^2+1} } = \left ( 2x+\frac{1}{3x^2+4} \right ) \frac{1}{\sqrt{x^2+1} } $
Do đó:
$I=\int\limits f(x)dx=\int\limits (2x+\frac{1}{3x^2+4} )\frac{1}{\sqrt{x^2+1} } dx=\int\limits \frac{2xdx}{\sqrt{x^2+1} }+\int\limits \frac{dx}{(3x^2+4) \sqrt{x^2+1} } $
Trong đó:
$I_1=\int\limits \frac{2xdx}{\sqrt{x^2+1} } =\int\limits \frac{d(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1} } =2\sqrt{x^2+1}+C (2)$
Với $I_2=\int\limits \frac{dx}{(3x^2+4) \sqrt{x^2+1} } $ ta thực hiện đổi biến $t=\frac{x}{\sqrt{x^2+1} } \Leftrightarrow t^2=\frac{x^2}{x^2+1}$ $ \Rightarrow x^2=\frac{t^2}{1-t^2}$ suy ra:
$dt=\frac{dx}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1} } $
Khi đó:
$I_2=\int\limits \frac{dx}{(3x^2+4)\sqrt{x^2+1} } =\int\limits \frac{(x^2+1) \sqrt{x^2+1}dt }{(3x^2+4) \sqrt{x^2+1} } =\int\limits \frac{(\frac{t^2}{1-t^2}+1)dt }{\frac{3t^2}{1-t^2} +4} =\int\limits \frac{dt}{4-t^2} $
$=-\frac{1}{4}\ln|\frac{t-2}{t+2} |+C=\frac{1}{4}\ln|\frac{t+2}{t-2} |+C=\frac{1}{4}\ln|\frac{x+2 \sqrt{x^2+1} }{x-2 \sqrt{x^2+1} } |+C (3) $
Thay (2) (3) vào $I$ ta được:
$I=2\sqrt{x^2+1}+ \frac{1}{4}\ln|\frac{x+2 \sqrt{x^2+1} }{x-2 \sqrt{x^2+1} } |+C$