Ta có:
6x3+8x+1(3x2+4)√x2+1=(2x+13x2+4)1√x2+1
Do đó:
I=∫f(x)dx=∫(2x+13x2+4)1√x2+1dx=∫2xdx√x2+1+∫dx(3x2+4)√x2+1
Trong đó:
I1=∫2xdx√x2+1=∫d(x2+1)√x2+1=2√x2+1+C(2)
Với I2=∫dx(3x2+4)√x2+1 ta thực hiện đổi biến t=x√x2+1⇔t2=x2x2+1 ⇒x2=t21−t2 suy ra:
dt=dx(x2+1)√x2+1
Khi đó:
I2=∫dx(3x2+4)√x2+1=∫(x2+1)√x2+1dt(3x2+4)√x2+1=∫(t21−t2+1)dt3t21−t2+4=∫dt4−t2
=−14ln|t−2t+2|+C=14ln|t+2t−2|+C=14ln|x+2√x2+1x−2√x2+1|+C(3)
Thay (2) (3) vào I ta được:
I=2√x2+1+14ln|x+2√x2+1x−2√x2+1|+C