Điều kiện xác định: $\begin{cases} - x^{2} +4x+21 \geq 0 \\ - x^{2} +3x +10 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -3 \leq x \leq 7 \\ -2 \leq x \leq 5 \end{cases} $
$\Leftrightarrow -2 \leq x \leq 5 \Rightarrow $ tập xác định của hàm số là $D=[-2;5]$
Do $- x^{2} +4x+21- \left( - x^{2} +3x +10 \right) = x+11>0 $ trên D nên $y>0$
$y= \sqrt{ \left( x+3 \right) \left( 7-x \right) }- \sqrt{ \left( x+2 \right) \left( 5-x \right) }>0$
$\Rightarrow y^{2}=x^{2} – x^{2} +4x+21+\left( - x^{2} +3x +10 \right) $
$-2 \sqrt{ \left( x+3 \right) \left( 7-x \right) \left( x+2 \right) \left( 5-x \right) }$
$= \left( - x^{2} +2x+15 \right) + \left(- x^{2} +5x+14 \right) $
$- 2 \sqrt{ \left( x+3 \right) \left( 7-x \right) \left( x+2 \right) \left( 5-x \right) }+2$
$= [ \sqrt{ \left( x+3 \right) \left( 5-x \right) }- \sqrt{ \left( x+2 \right) \left( 7-x \right) }]^{2}+2 \geq 2$
Vậy giá trị nhỏ nhất của y là $ \sqrt{ 2}$ đạt được khi và chỉ khi
$\sqrt{ \left( x+3 \right) \left( 5-x \right) }= \sqrt{ \left( x+2 \right) \left( 7-x \right) }$
$\Leftrightarrow$$ - x^{2} +2x+15 = - x^{2} +5x+14 \Leftrightarrow 3x=1 \Leftrightarrow x= \frac{ 1}{3}$ thuộc khoảng D.Vậy GTNN của y là $\sqrt3$, đạt được khi $x=\frac{1}{3}$.