Đặt $t=\frac{1}{x+1} $ thì $x=\frac{1}{t}-1 $, suy ra:
$dx=-\frac{1}{t^2}dt $
$\frac{dx}{(x+1).\sqrt{x^2+2x+2}}=\frac{t(-\frac{1}{t^2})dt }{\sqrt{\frac{1}{t^2}+1 } }=-\frac{dt}{t \sqrt{\frac{1}{t^2}+1 } } $
$=\begin{cases}-\frac{dt}{\sqrt{1+t^2} } khi t>0 \\ \frac{dt}{\sqrt{1+t^2} } khi t<0 \end{cases} $
Khi đó t xét hai trường hợp:
+) Trường hợp 1: Với $t>0$ ta được:
$\int\limits f(x)dx=-\int\limits \frac{dt}{\sqrt{1+t^2} }=-\ln|t+\sqrt{1+t^2}|+C=-\ln |\frac{1}{x+1}+\sqrt{1+\frac{1}{(x+1)^2}} |+C $
$=-\ln|\frac{1+\sqrt{x^2+2x+2} }{x+1} |+C=\ln|\frac{x+1}{1+\sqrt{x^2+2x+2} } |+C$
$=\ln|\frac{1-\sqrt{x^2+2x+2} }{x+1} |+C$
+) Trường hợp 2: Với $t<0$, ta được:
$\int\limits f(x)dx=\int\limits \frac{dt}{\sqrt{1+t^2} }=\ln|t+\sqrt{1+t^2}|+C=\ln |\frac{1}{x+1}+\sqrt{1+\frac{1}{(x+1)^2} } |+C $
$=\ln|\frac{1-\sqrt{x^2+2x+2} }{x+1} |+C$
Vậy với $t \neq 0 \leftrightarrow x \neq -1$ ta luôn có:
$$\int\limits f(x)dx=\ln|\frac{1-\sqrt{x^2+2x+2} }{x+1} |+C$$