Bài 107115

Question

Tìm nguyên hàm của hàm số:

$f(x)=\frac{1}{(x+1)\sqrt{x^2+2x+2} }$

score 0 · Answer 1

Đặt

$t=\frac{1}{x+1}$ thì

$x=\frac{1}{t}-1$ , suy ra:

$dx=-\frac{1}{t^2}dt$

$\frac{dx}{(x+1).\sqrt{x^2+2x+2}}=\frac{t(-\frac{1}{t^2})dt }{\sqrt{\frac{1}{t^2}+1 } }=-\frac{dt}{t \sqrt{\frac{1}{t^2}+1 } }$

$=\begin{cases}-\frac{dt}{\sqrt{1+t^2} } khi t>0 \\ \frac{dt}{\sqrt{1+t^2} } khi t<0 \end{cases}$

Khi đó t xét hai trường hợp:

+) Trường hợp 1: Với

$t>0$ ta được:

$\int\limits f(x)dx=-\int\limits \frac{dt}{\sqrt{1+t^2} }=-\ln|t+\sqrt{1+t^2}|+C=-\ln |\frac{1}{x+1}+\sqrt{1+\frac{1}{(x+1)^2}} |+C$

$=-\ln|\frac{1+\sqrt{x^2+2x+2} }{x+1} |+C=\ln|\frac{x+1}{1+\sqrt{x^2+2x+2} } |+C$

$=\ln|\frac{1-\sqrt{x^2+2x+2} }{x+1} |+C$

+) Trường hợp 2: Với

$t<0$ , ta được:

$\int\limits f(x)dx=\int\limits \frac{dt}{\sqrt{1+t^2} }=\ln|t+\sqrt{1+t^2}|+C=\ln |\frac{1}{x+1}+\sqrt{1+\frac{1}{(x+1)^2} } |+C$

$=\ln|\frac{1-\sqrt{x^2+2x+2} }{x+1} |+C$

Vậy với

$t \neq 0 \leftrightarrow x \neq -1$ ta luôn có:

$\int\limits f(x)dx=\ln|\frac{1-\sqrt{x^2+2x+2} }{x+1} |+C$

1 Đáp án