Sử dụng phép đổi biến:
$\sqrt{x^2+2x+2}=t-x \rightarrow x^2+2x+2=(t-x)^2 $
$\leftrightarrow x=\frac{t^2-2}{2(t+1)} \rightarrow dx=\frac{(t^2+2t+2)dt}{2(t+1)^2} $
Khi đó:
$\int\limits f(x)dx=\int\limits \sqrt{x^2+2x+2}dx=\int\limits [t-\frac{t^2-2}{2(t+1)}].\frac{(t^2+2t+2)dt}{2(t+1)^2} =\frac{1}{4}\int\limits \frac{(t^4+4)dt}{(t+1)^3} $
Sử dụng đồng nhất thức:
$t^4+4=[(t+1)-1)]^4+4=(t+1)^4-4(t+1)^3+6(t+1)^2-4(t+1)+5$
Do đó:
$\int\limits f(x)dx=\frac{1}{4}\int\limits [t+1-4+\frac{6}{t+1} -\frac{4}{(t+1)^2}]dt$
$=\frac{1}{4}[\frac{t^2}{2}-3t+6\ln|t+1|+\frac{4}{t+1}]+C $
$=\frac{1}{4}[ \frac{(\sqrt{x^2+2x+2}+x)^2}{2} -3(\sqrt{x^2+2x+2}+x)$
$+6\ln|\sqrt{x^2+2x+2}+x+1|+\frac{4}{\sqrt{x^2+2x+2}+x+1}]+C $